გადაწყვიტეთ 4x^2+28x+53=0

$$4 x ^ { 2 } + 28 x + 53 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=-\frac{7}{2}+i=-3.5+i$$

$$x=-\frac{7}{2}-i=-3.5-i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$4x^{2}+28x+53=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 4-ით a, 28-ით b და 53-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\times 4\times 53}}{2\times 4}$$

აიყვანეთ კვადრატში 28.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-4\times 4\times 53}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 4.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-16\times 53}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -16-ზე 53.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-848}}{2\times 4}$$

მიუმატეთ 784 -848-ს.

$$x=\frac{-28±\sqrt{-64}}{2\times 4}$$

აიღეთ -64-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-28±8i}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 4.

$$x=\frac{-28±8i}{8}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-28±8i}{8} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -28 8i-ს.

$$x=\frac{-28+8i}{8}$$

გაყავით -28+8i 8-ზე.

$$x=-\frac{7}{2}+i$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-28±8i}{8} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 8i -28-ს.

$$x=\frac{-28-8i}{8}$$

გაყავით -28-8i 8-ზე.

$$x=-\frac{7}{2}-i$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{7}{2}+i x=-\frac{7}{2}-i$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+28x+53=0$$

გამოაკელით 53 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x^{2}+28x+53-53=-53$$

53-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$4x^{2}+28x=-53$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$\frac{4x^{2}+28x}{4}=-\frac{53}{4}$$

4-ზე გაყოფა აუქმებს 4-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{28}{4}x=-\frac{53}{4}$$

გაყავით 28 4-ზე.

$$x^{2}+7x=-\frac{53}{4}$$

გაყავით 7, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{7}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{7}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+7x+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=-\frac{53}{4}+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{7}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=\frac{-53+49}{4}$$

მიუმატეთ -\frac{53}{4} \frac{49}{4}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=-1$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+7x+\frac{49}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}=-1$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-1}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{7}{2}=i x+\frac{7}{2}=-i$$

გამოაკელით \frac{7}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-\frac{7}{2}+i x=-\frac{7}{2}-i$$