გადაწყვიტეთ 4x^2+2x+1=21

$$4 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 21$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=2$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

გამოაკელით 21 ორივე მხარეს.

$$4x^{2}+2x+1-21=0$$

გამოაკელით 21 1-ს -20-ის მისაღებად.

$$4x^{2}+2x-20=0$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$2x^{2}+x-10=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 2x^{2}+ax+bx-10. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=1 ab=2\left(-10\right)=-20$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -20.

$$-1,20 -2,10 -4,5$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+20=19 -2+10=8 -4+5=1$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 1.

$$a=-4 b=5$$

ხელახლა დაწერეთ 2x^{2}+x-10, როგორც \left(2x^{2}-4x\right)+\left(5x-10\right).

$$\left(2x^{2}-4x\right)+\left(5x-10\right)$$

2x-ის პირველ, 5-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$2x\left(x-2\right)+5\left(x-2\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-2 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-2\right)\left(2x+5\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-2=0 და 2x+5=0.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$4x^{2}+2x+1=21$$

გამოაკელით 21 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x^{2}+2x+1-21=21-21$$

21-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$4x^{2}+2x+1-21=0$$

გამოაკელით 21 1-ს.

$$4x^{2}+2x-20=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 4-ით a, 2-ით b და -20-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

აიყვანეთ კვადრატში 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 4.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-16\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -16-ზე -20.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+320}}{2\times 4}$$

მიუმატეთ 4 320-ს.

$$x=\frac{-2±\sqrt{324}}{2\times 4}$$

აიღეთ 324-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-2±18}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 4.

$$x=\frac{-2±18}{8}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-2±18}{8} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -2 18-ს.

$$x=\frac{16}{8}$$

გაყავით 16 8-ზე.

$$x=2$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-2±18}{8} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 18 -2-ს.

$$x=-\frac{20}{8}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-20}{8} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 4-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{5}{2}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+2x+1=21$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x^{2}+2x+1-1=21-1$$

1-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$4x^{2}+2x=21-1$$

გამოაკელით 1 21-ს.

$$4x^{2}+2x=20$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$\frac{4x^{2}+2x}{4}=\frac{20}{4}$$

4-ზე გაყოფა აუქმებს 4-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{2}{4}x=\frac{20}{4}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{2}{4} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{20}{4}$$

გაყავით 20 4-ზე.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=5$$

გაყავით \frac{1}{2}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{1}{4}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{1}{4}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=5+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{1}{4} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=5+\frac{1}{16}$$

მიუმატეთ 5 \frac{1}{16}-ს.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{81}{16}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{9}{4}$$

გამოაკელით \frac{1}{4} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$