გადაწყვიტეთ 4x^2-28x+149=0

$$4 { x }^{ 2 } -28x+149 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{7}{2}+5i=3.5+5i$$

$$x=\frac{7}{2}-5i=3.5-5i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$4x^{2}-28x+149=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 4-ით a, -28-ით b და 149-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{\left(-28\right)^{2}-4\times 4\times 149}}{2\times 4}$$

აიყვანეთ კვადრატში -28.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-4\times 4\times 149}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 4.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-16\times 149}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -16-ზე 149.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-2384}}{2\times 4}$$

მიუმატეთ 784 -2384-ს.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{-1600}}{2\times 4}$$

აიღეთ -1600-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±40i}{2\times 4}$$

-28-ის საპირისპიროა 28.

$$x=\frac{28±40i}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 4.

$$x=\frac{28±40i}{8}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{28±40i}{8} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 28 40i-ს.

$$x=\frac{28+40i}{8}$$

გაყავით 28+40i 8-ზე.

$$x=\frac{7}{2}+5i$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{28±40i}{8} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 40i 28-ს.

$$x=\frac{28-40i}{8}$$

გაყავით 28-40i 8-ზე.

$$x=\frac{7}{2}-5i$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{7}{2}+5i x=\frac{7}{2}-5i$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-28x+149=0$$

გამოაკელით 149 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x^{2}-28x+149-149=-149$$

149-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$4x^{2}-28x=-149$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$\frac{4x^{2}-28x}{4}=-\frac{149}{4}$$

4-ზე გაყოფა აუქმებს 4-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{28}{4}\right)x=-\frac{149}{4}$$

გაყავით -28 4-ზე.

$$x^{2}-7x=-\frac{149}{4}$$

გაყავით -7, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{7}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{7}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=-\frac{149}{4}+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{7}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{-149+49}{4}$$

მიუმატეთ -\frac{149}{4} \frac{49}{4}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=-25$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-7x+\frac{49}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=-25$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-25}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{7}{2}=5i x-\frac{7}{2}=-5i$$

მიუმატეთ \frac{7}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{7}{2}+5i x=\frac{7}{2}-5i$$