გადაწყვიტეთ 39x^2+14x-9=0

$$39 { x }^{ 2 } +14x-9=0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-\frac{9}{13}\approx -0.692307692$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 39x^{2}+ax+bx-9. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=14 ab=39\left(-9\right)=-351$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -351.

$$-1,351 -3,117 -9,39 -13,27$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+351=350 -3+117=114 -9+39=30 -13+27=14$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 14.

$$a=-13 b=27$$

ხელახლა დაწერეთ 39x^{2}+14x-9, როგორც \left(39x^{2}-13x\right)+\left(27x-9\right).

$$\left(39x^{2}-13x\right)+\left(27x-9\right)$$

13x-ის პირველ, 9-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$13x\left(3x-1\right)+9\left(3x-1\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 3x-1 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(3x-1\right)\left(13x+9\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 3x-1=0 და 13x+9=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{9}{13}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$39x^{2}+14x-9=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 39-ით a, 14-ით b და -9-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 39\left(-9\right)}}{2\times 39}$$

აიყვანეთ კვადრატში 14.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 39\left(-9\right)}}{2\times 39}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 39.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-156\left(-9\right)}}{2\times 39}$$

გაამრავლეთ -156-ზე -9.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+1404}}{2\times 39}$$

მიუმატეთ 196 1404-ს.

$$x=\frac{-14±\sqrt{1600}}{2\times 39}$$

აიღეთ 1600-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-14±40}{2\times 39}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 39.

$$x=\frac{-14±40}{78}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-14±40}{78} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -14 40-ს.

$$x=\frac{26}{78}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{26}{78} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 26-ის შეკვეცით.

$$x=\frac{1}{3}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-14±40}{78} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 40 -14-ს.

$$x=-\frac{54}{78}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-54}{78} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 6-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{9}{13}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{9}{13}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$39x^{2}+14x-9=0$$

მიუმატეთ 9 განტოლების ორივე მხარეს.

$$39x^{2}+14x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

-9-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$39x^{2}+14x=-\left(-9\right)$$

გამოაკელით -9 0-ს.

$$39x^{2}+14x=9$$

ორივე მხარე გაყავით 39-ზე.

$$\frac{39x^{2}+14x}{39}=\frac{9}{39}$$

39-ზე გაყოფა აუქმებს 39-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x=\frac{9}{39}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{9}{39} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 3-ის შეკვეცით.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x=\frac{3}{13}$$

გაყავით \frac{14}{39}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{7}{39}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{7}{39}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x+\left(\frac{7}{39}\right)^{2}=\frac{3}{13}+\left(\frac{7}{39}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{7}{39} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x+\frac{49}{1521}=\frac{3}{13}+\frac{49}{1521}$$

მიუმატეთ \frac{3}{13} \frac{49}{1521}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x+\frac{49}{1521}=\frac{400}{1521}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{14}{39}x+\frac{49}{1521}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{39}\right)^{2}=\frac{400}{1521}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{39}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{400}{1521}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{7}{39}=\frac{20}{39} x+\frac{7}{39}=-\frac{20}{39}$$

გამოაკელით \frac{7}{39} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{9}{13}$$