გადაწყვიტეთ 3x^2-x=5

$$3 x ^ { 2 } - x = 5$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = \frac{\sqrt{61} + 1}{6} \approx 1.468374946$$

$$x=\frac{1-\sqrt{61}}{6}\approx -1.135041613$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$3x^{2}-x=5$$

გამოაკელით 5 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x^{2}-x-5=5-5$$

5-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$3x^{2}-x-5=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 3-ით a, -1-ით b და -5-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 3.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-12\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -12-ზე -5.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+60}}{2\times 3}$$

მიუმატეთ 1 60-ს.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{61}}{2\times 3}$$

-1-ის საპირისპიროა 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{61}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 3.

$$x=\frac{1±\sqrt{61}}{6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{1±\sqrt{61}}{6} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 1 \sqrt{61}-ს.

$$x=\frac{\sqrt{61}+1}{6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{1±\sqrt{61}}{6} როცა ± მინუსია. გამოაკელით \sqrt{61} 1-ს.

$$x=\frac{1-\sqrt{61}}{6}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{\sqrt{61}+1}{6} x=\frac{1-\sqrt{61}}{6}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-x=5$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$\frac{3x^{2}-x}{3}=\frac{5}{3}$$

3-ზე გაყოფა აუქმებს 3-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x=\frac{5}{3}$$

გაყავით -\frac{1}{3}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{1}{6}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{1}{6}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{5}{3}+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{1}{6} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{5}{3}+\frac{1}{36}$$

მიუმატეთ \frac{5}{3} \frac{1}{36}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{61}{36}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{61}{36}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{61}{36}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{61}}{6} x-\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{61}}{6}$$

მიუმატეთ \frac{1}{6} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{\sqrt{61}+1}{6} x=\frac{1-\sqrt{61}}{6}$$