გადაწყვიტეთ 3x^2-40x+96=0

$$3 x ^ { 2 } - 40 x + 96 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = \frac{4 \sqrt{7} + 20}{3} \approx 10.194335081$$

$$x = \frac{20 - 4 \sqrt{7}}{3} \approx 3.138998252$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$3x^{2}-40x+96=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 3-ით a, -40-ით b და 96-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 3\times 96}}{2\times 3}$$

აიყვანეთ კვადრატში -40.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 3\times 96}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 3.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-12\times 96}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -12-ზე 96.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-1152}}{2\times 3}$$

მიუმატეთ 1600 -1152-ს.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{448}}{2\times 3}$$

აიღეთ 448-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±8\sqrt{7}}{2\times 3}$$

-40-ის საპირისპიროა 40.

$$x=\frac{40±8\sqrt{7}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 3.

$$x=\frac{40±8\sqrt{7}}{6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{40±8\sqrt{7}}{6} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 40 8\sqrt{7}-ს.

$$x=\frac{8\sqrt{7}+40}{6}$$

გაყავით 40+8\sqrt{7} 6-ზე.

$$x=\frac{4\sqrt{7}+20}{3}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{40±8\sqrt{7}}{6} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 8\sqrt{7} 40-ს.

$$x=\frac{40-8\sqrt{7}}{6}$$

გაყავით 40-8\sqrt{7} 6-ზე.

$$x=\frac{20-4\sqrt{7}}{3}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{4\sqrt{7}+20}{3} x=\frac{20-4\sqrt{7}}{3}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-40x+96=0$$

გამოაკელით 96 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x^{2}-40x+96-96=-96$$

96-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$3x^{2}-40x=-96$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$\frac{3x^{2}-40x}{3}=-\frac{96}{3}$$

3-ზე გაყოფა აუქმებს 3-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x=-\frac{96}{3}$$

გაყავით -96 3-ზე.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x=-32$$

გაყავით -\frac{40}{3}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{20}{3}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{20}{3}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x+\left(-\frac{20}{3}\right)^{2}=-32+\left(-\frac{20}{3}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{20}{3} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x+\frac{400}{9}=-32+\frac{400}{9}$$

მიუმატეთ -32 \frac{400}{9}-ს.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x+\frac{400}{9}=\frac{112}{9}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{40}{3}x+\frac{400}{9}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{20}{3}\right)^{2}=\frac{112}{9}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{20}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{112}{9}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{20}{3}=\frac{4\sqrt{7}}{3} x-\frac{20}{3}=-\frac{4\sqrt{7}}{3}$$

მიუმატეთ \frac{20}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{4\sqrt{7}+20}{3} x=\frac{20-4\sqrt{7}}{3}$$