გადაწყვიტეთ 3x^2+8x-11=0

$$3 x ^ { 2 } + 8 x - 11 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = -\frac{11}{3} = -3\frac{2}{3} \approx -3.666666667$$

$$x=1$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 3x^{2}+ax+bx-11. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=8 ab=3\left(-11\right)=-33$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -33.

$$-1,33 -3,11$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+33=32 -3+11=8$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 8.

$$a=-3 b=11$$

ხელახლა დაწერეთ 3x^{2}+8x-11, როგორც \left(3x^{2}-3x\right)+\left(11x-11\right).

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(11x-11\right)$$

3x-ის პირველ, 11-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$3x\left(x-1\right)+11\left(x-1\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-1 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-1\right)\left(3x+11\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-1=0 და 3x+11=0.

$$x=1 x=-\frac{11}{3}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$3x^{2}+8x-11=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 3-ით a, 8-ით b და -11-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 3\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

აიყვანეთ კვადრატში 8.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 3\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 3.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-12\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -12-ზე -11.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+132}}{2\times 3}$$

მიუმატეთ 64 132-ს.

$$x=\frac{-8±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

აიღეთ 196-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-8±14}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 3.

$$x=\frac{-8±14}{6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-8±14}{6} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -8 14-ს.

$$x=\frac{6}{6}$$

გაყავით 6 6-ზე.

$$x=1$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-8±14}{6} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 14 -8-ს.

$$x=-\frac{22}{6}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-22}{6} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{11}{3}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=1 x=-\frac{11}{3}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+8x-11=0$$

მიუმატეთ 11 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x^{2}+8x-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

-11-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$3x^{2}+8x=-\left(-11\right)$$

გამოაკელით -11 0-ს.

$$3x^{2}+8x=11$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$\frac{3x^{2}+8x}{3}=\frac{11}{3}$$

3-ზე გაყოფა აუქმებს 3-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=\frac{11}{3}$$

გაყავით \frac{8}{3}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{4}{3}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{4}{3}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{11}{3}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{4}{3} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{11}{3}+\frac{16}{9}$$

მიუმატეთ \frac{11}{3} \frac{16}{9}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{49}{9}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{4}{3}=\frac{7}{3} x+\frac{4}{3}=-\frac{7}{3}$$

გამოაკელით \frac{4}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=1 x=-\frac{11}{3}$$