გადაწყვიტეთ 3x^2+3x-9=0

$$3 x ^ { 2 } + 3 x - 9 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = \frac{\sqrt{13} - 1}{2} \approx 1.302775638$$

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{2}\approx -2.302775638$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$3x^{2}+3x-9=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 3-ით a, 3-ით b და -9-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

აიყვანეთ კვადრატში 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-12\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -12-ზე -9.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+108}}{2\times 3}$$

მიუმატეთ 9 108-ს.

$$x=\frac{-3±\sqrt{117}}{2\times 3}$$

აიღეთ 117-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-3±3\sqrt{13}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 3.

$$x=\frac{-3±3\sqrt{13}}{6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-3±3\sqrt{13}}{6} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -3 3\sqrt{13}-ს.

$$x=\frac{3\sqrt{13}-3}{6}$$

გაყავით -3+3\sqrt{13} 6-ზე.

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-3±3\sqrt{13}}{6} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 3\sqrt{13} -3-ს.

$$x=\frac{-3\sqrt{13}-3}{6}$$

გაყავით -3-3\sqrt{13} 6-ზე.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{2}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{2} x=\frac{-\sqrt{13}-1}{2}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+3x-9=0$$

მიუმატეთ 9 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x^{2}+3x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

-9-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$3x^{2}+3x=-\left(-9\right)$$

გამოაკელით -9 0-ს.

$$3x^{2}+3x=9$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$\frac{3x^{2}+3x}{3}=\frac{9}{3}$$

3-ზე გაყოფა აუქმებს 3-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{3}{3}x=\frac{9}{3}$$

გაყავით 3 3-ზე.

$$x^{2}+x=\frac{9}{3}$$

გაყავით 9 3-ზე.

$$x^{2}+x=3$$

გაყავით 1, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{1}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{1}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=3+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{1}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=3+\frac{1}{4}$$

მიუმატეთ 3 \frac{1}{4}-ს.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{13}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+x+\frac{1}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{13}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{13}}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{13}}{2}$$

გამოაკელით \frac{1}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{2} x=\frac{-\sqrt{13}-1}{2}$$