გადაწყვიტეთ 3x^2+3x+7=0

$$3 x ^ { 2 } + 3 x + 7 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{5\sqrt{3}i}{6}-\frac{1}{2}\approx -0.5+1.443375673i$$

$$x=-\frac{5\sqrt{3}i}{6}-\frac{1}{2}\approx -0.5-1.443375673i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$3x^{2}+3x+7=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 3-ით a, 3-ით b და 7-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

აიყვანეთ კვადრატში 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-12\times 7}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -12-ზე 7.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-84}}{2\times 3}$$

მიუმატეთ 9 -84-ს.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-75}}{2\times 3}$$

აიღეთ -75-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-3±5\sqrt{3}i}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 3.

$$x=\frac{-3±5\sqrt{3}i}{6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-3±5\sqrt{3}i}{6} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -3 5i\sqrt{3}-ს.

$$x=\frac{-3+5\sqrt{3}i}{6}$$

გაყავით -3+5i\sqrt{3} 6-ზე.

$$x=\frac{5\sqrt{3}i}{6}-\frac{1}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-3±5\sqrt{3}i}{6} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 5i\sqrt{3} -3-ს.

$$x=\frac{-5\sqrt{3}i-3}{6}$$

გაყავით -3-5i\sqrt{3} 6-ზე.

$$x=-\frac{5\sqrt{3}i}{6}-\frac{1}{2}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{5\sqrt{3}i}{6}-\frac{1}{2} x=-\frac{5\sqrt{3}i}{6}-\frac{1}{2}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+3x+7=0$$

გამოაკელით 7 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x^{2}+3x+7-7=-7$$

7-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$3x^{2}+3x=-7$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$\frac{3x^{2}+3x}{3}=-\frac{7}{3}$$

3-ზე გაყოფა აუქმებს 3-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{3}{3}x=-\frac{7}{3}$$

გაყავით 3 3-ზე.

$$x^{2}+x=-\frac{7}{3}$$

გაყავით 1, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{1}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{1}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{7}{3}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{1}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{7}{3}+\frac{1}{4}$$

მიუმატეთ -\frac{7}{3} \frac{1}{4}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{25}{12}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+x+\frac{1}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{25}{12}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{25}{12}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{5\sqrt{3}i}{6} x+\frac{1}{2}=-\frac{5\sqrt{3}i}{6}$$

გამოაკელით \frac{1}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{5\sqrt{3}i}{6}-\frac{1}{2} x=-\frac{5\sqrt{3}i}{6}-\frac{1}{2}$$