გადაწყვიტეთ 3x^2+23x-8=0

$$3 x ^ { 2 } + 23 x - 8 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-8$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 3x^{2}+ax+bx-8. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=23 ab=3\left(-8\right)=-24$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 23.

$$a=-1 b=24$$

ხელახლა დაწერეთ 3x^{2}+23x-8, როგორც \left(3x^{2}-x\right)+\left(24x-8\right).

$$\left(3x^{2}-x\right)+\left(24x-8\right)$$

x-ის პირველ, 8-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$x\left(3x-1\right)+8\left(3x-1\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 3x-1 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(3x-1\right)\left(x+8\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 3x-1=0 და x+8=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-8$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$3x^{2}+23x-8=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 3-ით a, 23-ით b და -8-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-23±\sqrt{23^{2}-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

აიყვანეთ კვადრატში 23.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 3.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-12\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -12-ზე -8.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529+96}}{2\times 3}$$

მიუმატეთ 529 96-ს.

$$x=\frac{-23±\sqrt{625}}{2\times 3}$$

აიღეთ 625-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-23±25}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 3.

$$x=\frac{-23±25}{6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-23±25}{6} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -23 25-ს.

$$x=\frac{2}{6}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{2}{6} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x=\frac{1}{3}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-23±25}{6} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 25 -23-ს.

$$x=-\frac{48}{6}$$

გაყავით -48 6-ზე.

$$x=-8$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{1}{3} x=-8$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+23x-8=0$$

მიუმატეთ 8 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x^{2}+23x-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

-8-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$3x^{2}+23x=-\left(-8\right)$$

გამოაკელით -8 0-ს.

$$3x^{2}+23x=8$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$\frac{3x^{2}+23x}{3}=\frac{8}{3}$$

3-ზე გაყოფა აუქმებს 3-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{23}{3}x=\frac{8}{3}$$

გაყავით \frac{23}{3}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{23}{6}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{23}{6}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{23}{3}x+\left(\frac{23}{6}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(\frac{23}{6}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{23}{6} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{23}{3}x+\frac{529}{36}=\frac{8}{3}+\frac{529}{36}$$

მიუმატეთ \frac{8}{3} \frac{529}{36}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{23}{3}x+\frac{529}{36}=\frac{625}{36}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{23}{3}x+\frac{529}{36}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{23}{6}\right)^{2}=\frac{625}{36}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{23}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{36}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{23}{6}=\frac{25}{6} x+\frac{23}{6}=-\frac{25}{6}$$

გამოაკელით \frac{23}{6} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{1}{3} x=-8$$