გადაწყვიტეთ 3r^2-24r=-45

$$3 r ^ { 2 } - 24 r = - 45$$

ამოხსნა r-ისთვის

$$r=3$$

$$r=5$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

დაამატეთ 45 ორივე მხარეს.

$$3r^{2}-24r+45=0$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$r^{2}-8r+15=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც r^{2}+ar+br+15. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-8 ab=1\times 15=15$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b უარყოფითია, ორივე, a და b უარყოფითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 15.

$$-1,-15 -3,-5$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -8.

$$a=-5 b=-3$$

ხელახლა დაწერეთ r^{2}-8r+15, როგორც \left(r^{2}-5r\right)+\left(-3r+15\right).

$$\left(r^{2}-5r\right)+\left(-3r+15\right)$$

r-ის პირველ, -3-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$r\left(r-5\right)-3\left(r-5\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი r-5 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(r-5\right)\left(r-3\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით r-5=0 და r-3=0.

$$r=5 r=3$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$3r^{2}-24r=-45$$

მიუმატეთ 45 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3r^{2}-24r-\left(-45\right)=-45-\left(-45\right)$$

-45-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$3r^{2}-24r-\left(-45\right)=0$$

გამოაკელით -45 0-ს.

$$3r^{2}-24r+45=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 3-ით a, -24-ით b და 45-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 3\times 45}}{2\times 3}$$

აიყვანეთ კვადრატში -24.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 3\times 45}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 3.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-12\times 45}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -12-ზე 45.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-540}}{2\times 3}$$

მიუმატეთ 576 -540-ს.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{36}}{2\times 3}$$

აიღეთ 36-ის კვადრატული ფესვი.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±6}{2\times 3}$$

-24-ის საპირისპიროა 24.

$$r=\frac{24±6}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 3.

$$r=\frac{24±6}{6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება r=\frac{24±6}{6} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 24 6-ს.

$$r=\frac{30}{6}$$

გაყავით 30 6-ზე.

$$r=5$$

ახლა ამოხსენით განტოლება r=\frac{24±6}{6} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 6 24-ს.

$$r=\frac{18}{6}$$

გაყავით 18 6-ზე.

$$r=3$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$r=5 r=3$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$3r^{2}-24r=-45$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$\frac{3r^{2}-24r}{3}=-\frac{45}{3}$$

3-ზე გაყოფა აუქმებს 3-ზე გამრავლებას.

$$r^{2}+\left(-\frac{24}{3}\right)r=-\frac{45}{3}$$

გაყავით -24 3-ზე.

$$r^{2}-8r=-\frac{45}{3}$$

გაყავით -45 3-ზე.

$$r^{2}-8r=-15$$

გაყავით -8, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -4-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -4-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$r^{2}-8r+\left(-4\right)^{2}=-15+\left(-4\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -4.

$$r^{2}-8r+16=-15+16$$

მიუმატეთ -15 16-ს.

$$r^{2}-8r+16=1$$

დაშალეთ მამრავლებად r^{2}-8r+16. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r-4\right)^{2}=1$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(r-4\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

გაამარტივეთ.

$$r-4=1 r-4=-1$$

მიუმატეთ 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$r=5 r=3$$