გადაწყვიტეთ 3n^2+3n+1=1141

$$3 n ^ { 2 } + 3 n + 1 = 1141$$

ამოხსნა n-ისთვის

$$n=-20$$

$$n=19$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

გამოაკელით 1141 ორივე მხარეს.

$$3n^{2}+3n+1-1141=0$$

გამოაკელით 1141 1-ს -1140-ის მისაღებად.

$$3n^{2}+3n-1140=0$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$n^{2}+n-380=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც n^{2}+an+bn-380. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=1 ab=1\left(-380\right)=-380$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -380.

$$-1,380 -2,190 -4,95 -5,76 -10,38 -19,20$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+380=379 -2+190=188 -4+95=91 -5+76=71 -10+38=28 -19+20=1$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 1.

$$a=-19 b=20$$

ხელახლა დაწერეთ n^{2}+n-380, როგორც \left(n^{2}-19n\right)+\left(20n-380\right).

$$\left(n^{2}-19n\right)+\left(20n-380\right)$$

n-ის პირველ, 20-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$n\left(n-19\right)+20\left(n-19\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი n-19 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(n-19\right)\left(n+20\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით n-19=0 და n+20=0.

$$n=19 n=-20$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$3n^{2}+3n+1=1141$$

გამოაკელით 1141 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3n^{2}+3n+1-1141=1141-1141$$

1141-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$3n^{2}+3n+1-1141=0$$

გამოაკელით 1141 1-ს.

$$3n^{2}+3n-1140=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 3-ით a, 3-ით b და -1140-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 3\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

აიყვანეთ კვადრატში 3.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 3\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 3.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9-12\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -12-ზე -1140.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9+13680}}{2\times 3}$$

მიუმატეთ 9 13680-ს.

$$n=\frac{-3±\sqrt{13689}}{2\times 3}$$

აიღეთ 13689-ის კვადრატული ფესვი.

$$n=\frac{-3±117}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 3.

$$n=\frac{-3±117}{6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება n=\frac{-3±117}{6} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -3 117-ს.

$$n=\frac{114}{6}$$

გაყავით 114 6-ზე.

$$n=19$$

ახლა ამოხსენით განტოლება n=\frac{-3±117}{6} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 117 -3-ს.

$$n=-\frac{120}{6}$$

გაყავით -120 6-ზე.

$$n=-20$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$n=19 n=-20$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}+3n+1=1141$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3n^{2}+3n+1-1=1141-1$$

1-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$3n^{2}+3n=1141-1$$

გამოაკელით 1 1141-ს.

$$3n^{2}+3n=1140$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$\frac{3n^{2}+3n}{3}=\frac{1140}{3}$$

3-ზე გაყოფა აუქმებს 3-ზე გამრავლებას.

$$n^{2}+\frac{3}{3}n=\frac{1140}{3}$$

გაყავით 3 3-ზე.

$$n^{2}+n=\frac{1140}{3}$$

გაყავით 1140 3-ზე.

$$n^{2}+n=380$$

გაყავით 1, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{1}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{1}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$n^{2}+n+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=380+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{1}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=380+\frac{1}{4}$$

მიუმატეთ 380 \frac{1}{4}-ს.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=\frac{1521}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად n^{2}+n+\frac{1}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1521}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1521}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$n+\frac{1}{2}=\frac{39}{2} n+\frac{1}{2}=-\frac{39}{2}$$

გამოაკელით \frac{1}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$n=19 n=-20$$