გადაწყვიტეთ 3x^2-15x+16=0

$$3 { x }^{ 2 } -15x+16=0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{5}{2}\approx 3.457427108$$

$$x=-\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{5}{2}\approx 1.542572892$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$3x^{2}-15x+16=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 3-ით a, -15-ით b და 16-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

აიყვანეთ კვადრატში -15.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 3.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-12\times 16}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -12-ზე 16.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-192}}{2\times 3}$$

მიუმატეთ 225 -192-ს.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{33}}{2\times 3}$$

-15-ის საპირისპიროა 15.

$$x=\frac{15±\sqrt{33}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 3.

$$x=\frac{15±\sqrt{33}}{6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{15±\sqrt{33}}{6} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 15 \sqrt{33}-ს.

$$x=\frac{\sqrt{33}+15}{6}$$

გაყავით 15+\sqrt{33} 6-ზე.

$$x=\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{5}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{15±\sqrt{33}}{6} როცა ± მინუსია. გამოაკელით \sqrt{33} 15-ს.

$$x=\frac{15-\sqrt{33}}{6}$$

გაყავით 15-\sqrt{33} 6-ზე.

$$x=-\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{5}{2}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{5}{2} x=-\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{5}{2}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-15x+16=0$$

გამოაკელით 16 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x^{2}-15x+16-16=-16$$

16-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$3x^{2}-15x=-16$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$\frac{3x^{2}-15x}{3}=-\frac{16}{3}$$

3-ზე გაყოფა აუქმებს 3-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{3}\right)x=-\frac{16}{3}$$

გაყავით -15 3-ზე.

$$x^{2}-5x=-\frac{16}{3}$$

გაყავით -5, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{5}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{5}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{16}{3}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{5}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-\frac{16}{3}+\frac{25}{4}$$

მიუმატეთ -\frac{16}{3} \frac{25}{4}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{11}{12}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-5x+\frac{25}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{11}{12}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{11}{12}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{33}}{6} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{33}}{6}$$

მიუმატეთ \frac{5}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{5}{2} x=-\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{5}{2}$$