გადაწყვიტეთ 3x^2+8x-1=0

$$3 { x }^{ 2 } +8x-1=0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=\frac{\sqrt{19}-4}{3}\approx 0.119632981$$

$$x=\frac{-\sqrt{19}-4}{3}\approx -2.786299648$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$3x^{2}+8x-1=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 3-ით a, 8-ით b და -1-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

აიყვანეთ კვადრატში 8.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 3.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-12\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -12-ზე -1.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+12}}{2\times 3}$$

მიუმატეთ 64 12-ს.

$$x=\frac{-8±\sqrt{76}}{2\times 3}$$

აიღეთ 76-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{19}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 3.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{19}}{6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-8±2\sqrt{19}}{6} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -8 2\sqrt{19}-ს.

$$x=\frac{2\sqrt{19}-8}{6}$$

გაყავით -8+2\sqrt{19} 6-ზე.

$$x=\frac{\sqrt{19}-4}{3}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-8±2\sqrt{19}}{6} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2\sqrt{19} -8-ს.

$$x=\frac{-2\sqrt{19}-8}{6}$$

გაყავით -8-2\sqrt{19} 6-ზე.

$$x=\frac{-\sqrt{19}-4}{3}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{\sqrt{19}-4}{3} x=\frac{-\sqrt{19}-4}{3}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+8x-1=0$$

მიუმატეთ 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x^{2}+8x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

-1-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$3x^{2}+8x=-\left(-1\right)$$

გამოაკელით -1 0-ს.

$$3x^{2}+8x=1$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$\frac{3x^{2}+8x}{3}=\frac{1}{3}$$

3-ზე გაყოფა აუქმებს 3-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=\frac{1}{3}$$

გაყავით \frac{8}{3}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{4}{3}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{4}{3}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{4}{3} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{1}{3}+\frac{16}{9}$$

მიუმატეთ \frac{1}{3} \frac{16}{9}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{19}{9}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{19}{9}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{19}{9}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{4}{3}=\frac{\sqrt{19}}{3} x+\frac{4}{3}=-\frac{\sqrt{19}}{3}$$

გამოაკელით \frac{4}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{\sqrt{19}-4}{3} x=\frac{-\sqrt{19}-4}{3}$$