გადაწყვიტეთ 3x^2+5x=138

$$3 { x }^{ 2 } +5x=138$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = -\frac{23}{3} = -7\frac{2}{3} \approx -7.666666667$$

$$x=6$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

გამოაკელით 138 ორივე მხარეს.

$$3x^{2}+5x-138=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 3x^{2}+ax+bx-138. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=5 ab=3\left(-138\right)=-414$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -414.

$$-1,414 -2,207 -3,138 -6,69 -9,46 -18,23$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+414=413 -2+207=205 -3+138=135 -6+69=63 -9+46=37 -18+23=5$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 5.

$$a=-18 b=23$$

ხელახლა დაწერეთ 3x^{2}+5x-138, როგორც \left(3x^{2}-18x\right)+\left(23x-138\right).

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(23x-138\right)$$

3x-ის პირველ, 23-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$3x\left(x-6\right)+23\left(x-6\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-6 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-6\right)\left(3x+23\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-6=0 და 3x+23=0.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$3x^{2}+5x=138$$

გამოაკელით 138 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x^{2}+5x-138=138-138$$

138-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$3x^{2}+5x-138=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 3-ით a, 5-ით b და -138-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

აიყვანეთ კვადრატში 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -12-ზე -138.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+1656}}{2\times 3}$$

მიუმატეთ 25 1656-ს.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

აიღეთ 1681-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-5±41}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 3.

$$x=\frac{-5±41}{6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-5±41}{6} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -5 41-ს.

$$x=\frac{36}{6}$$

გაყავით 36 6-ზე.

$$x=6$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-5±41}{6} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 41 -5-ს.

$$x=-\frac{46}{6}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-46}{6} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{23}{3}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+5x=138$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=\frac{138}{3}$$

3-ზე გაყოფა აუქმებს 3-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=\frac{138}{3}$$

გაყავით 138 3-ზე.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=46$$

გაყავით \frac{5}{3}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{5}{6}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{5}{6}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=46+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{5}{6} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=46+\frac{25}{36}$$

მიუმატეთ 46 \frac{25}{36}-ს.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{1681}{36}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{41}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{41}{6}$$

გამოაკელით \frac{5}{6} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$