გადაწყვიტეთ 3+12x-4x^2=0

$$3 + 12 x - 4 x ^ { 2 } = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=\sqrt{3}+\frac{3}{2}\approx 3.232050808$$

$$x=\frac{3}{2}-\sqrt{3}\approx -0.232050808$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-4x^{2}+12x+3=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -4-ით a, 12-ით b და 3-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\left(-4\right)\times 3}}{2\left(-4\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში 12.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\left(-4\right)\times 3}}{2\left(-4\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -4.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+16\times 3}}{2\left(-4\right)}$$

გაამრავლეთ 16-ზე 3.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+48}}{2\left(-4\right)}$$

მიუმატეთ 144 48-ს.

$$x=\frac{-12±\sqrt{192}}{2\left(-4\right)}$$

აიღეთ 192-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-12±8\sqrt{3}}{2\left(-4\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -4.

$$x=\frac{-12±8\sqrt{3}}{-8}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-12±8\sqrt{3}}{-8} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -12 8\sqrt{3}-ს.

$$x=\frac{8\sqrt{3}-12}{-8}$$

გაყავით -12+8\sqrt{3} -8-ზე.

$$x=\frac{3}{2}-\sqrt{3}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-12±8\sqrt{3}}{-8} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 8\sqrt{3} -12-ს.

$$x=\frac{-8\sqrt{3}-12}{-8}$$

გაყავით -12-8\sqrt{3} -8-ზე.

$$x=\sqrt{3}+\frac{3}{2}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{3}{2}-\sqrt{3} x=\sqrt{3}+\frac{3}{2}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}+12x+3=0$$

გამოაკელით 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-4x^{2}+12x+3-3=-3$$

3-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$-4x^{2}+12x=-3$$

ორივე მხარე გაყავით -4-ზე.

$$\frac{-4x^{2}+12x}{-4}=-\frac{3}{-4}$$

-4-ზე გაყოფა აუქმებს -4-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{12}{-4}x=-\frac{3}{-4}$$

გაყავით 12 -4-ზე.

$$x^{2}-3x=-\frac{3}{-4}$$

გაყავით -3 -4-ზე.

$$x^{2}-3x=\frac{3}{4}$$

გაყავით -3, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{3}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{3}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{3}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{3+9}{4}$$

მიუმატეთ \frac{3}{4} \frac{9}{4}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=3$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-3x+\frac{9}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=3$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{3}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{3}{2}=\sqrt{3} x-\frac{3}{2}=-\sqrt{3}$$

მიუმატეთ \frac{3}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\sqrt{3}+\frac{3}{2} x=\frac{3}{2}-\sqrt{3}$$