გადაწყვიტეთ 25y^2-54y-63=0

$$25 y ^ { 2 } - 54 y - 63 = 0$$

ამოხსნა y-ისთვის

$$y=-\frac{21}{25}=-0.84$$

$$y=3$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 25y^{2}+ay+by-63. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-54 ab=25\left(-63\right)=-1575$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b უარყოფითია, უარყოფით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე დადებით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -1575.

$$1,-1575 3,-525 5,-315 7,-225 9,-175 15,-105 21,-75 25,-63 35,-45$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1-1575=-1574 3-525=-522 5-315=-310 7-225=-218 9-175=-166 15-105=-90 21-75=-54 25-63=-38 35-45=-10$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -54.

$$a=-75 b=21$$

ხელახლა დაწერეთ 25y^{2}-54y-63, როგორც \left(25y^{2}-75y\right)+\left(21y-63\right).

$$\left(25y^{2}-75y\right)+\left(21y-63\right)$$

25y-ის პირველ, 21-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$25y\left(y-3\right)+21\left(y-3\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი y-3 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(y-3\right)\left(25y+21\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით y-3=0 და 25y+21=0.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$25y^{2}-54y-63=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 25-ით a, -54-ით b და -63-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{\left(-54\right)^{2}-4\times 25\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

აიყვანეთ კვადრატში -54.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-4\times 25\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 25.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-100\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

გაამრავლეთ -100-ზე -63.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916+6300}}{2\times 25}$$

მიუმატეთ 2916 6300-ს.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{9216}}{2\times 25}$$

აიღეთ 9216-ის კვადრატული ფესვი.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±96}{2\times 25}$$

-54-ის საპირისპიროა 54.

$$y=\frac{54±96}{2\times 25}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 25.

$$y=\frac{54±96}{50}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება y=\frac{54±96}{50} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 54 96-ს.

$$y=\frac{150}{50}$$

გაყავით 150 50-ზე.

$$y=3$$

ახლა ამოხსენით განტოლება y=\frac{54±96}{50} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 96 54-ს.

$$y=-\frac{42}{50}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-42}{50} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$y=-\frac{21}{25}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$25y^{2}-54y-63=0$$

მიუმატეთ 63 განტოლების ორივე მხარეს.

$$25y^{2}-54y-63-\left(-63\right)=-\left(-63\right)$$

-63-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$25y^{2}-54y=-\left(-63\right)$$

გამოაკელით -63 0-ს.

$$25y^{2}-54y=63$$

ორივე მხარე გაყავით 25-ზე.

$$\frac{25y^{2}-54y}{25}=\frac{63}{25}$$

25-ზე გაყოფა აუქმებს 25-ზე გამრავლებას.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y=\frac{63}{25}$$

გაყავით -\frac{54}{25}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{27}{25}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{27}{25}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\left(-\frac{27}{25}\right)^{2}=\frac{63}{25}+\left(-\frac{27}{25}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{27}{25} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}=\frac{63}{25}+\frac{729}{625}$$

მიუმატეთ \frac{63}{25} \frac{729}{625}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}=\frac{2304}{625}$$

დაშალეთ მამრავლებად y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{27}{25}\right)^{2}=\frac{2304}{625}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(y-\frac{27}{25}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2304}{625}}$$

გაამარტივეთ.

$$y-\frac{27}{25}=\frac{48}{25} y-\frac{27}{25}=-\frac{48}{25}$$

მიუმატეთ \frac{27}{25} განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$