გადაწყვიტეთ 25x^2-10x-x^2-25=0

$$25 x ^ { 2 } - 10 x - x ^ { 2 } - 25 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-\frac{5}{6}\approx -0.833333333$$

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1.25$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

დააჯგუფეთ 25x^{2} და -x^{2}, რათა მიიღოთ 24x^{2}.

$$24x^{2}-10x-25=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 24x^{2}+ax+bx-25. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-10 ab=24\left(-25\right)=-600$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b უარყოფითია, უარყოფით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე დადებით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -600.

$$1,-600 2,-300 3,-200 4,-150 5,-120 6,-100 8,-75 10,-60 12,-50 15,-40 20,-30 24,-25$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1-600=-599 2-300=-298 3-200=-197 4-150=-146 5-120=-115 6-100=-94 8-75=-67 10-60=-50 12-50=-38 15-40=-25 20-30=-10 24-25=-1$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -10.

$$a=-30 b=20$$

ხელახლა დაწერეთ 24x^{2}-10x-25, როგორც \left(24x^{2}-30x\right)+\left(20x-25\right).

$$\left(24x^{2}-30x\right)+\left(20x-25\right)$$

6x-ის პირველ, 5-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$6x\left(4x-5\right)+5\left(4x-5\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 4x-5 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(4x-5\right)\left(6x+5\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 4x-5=0 და 6x+5=0.

$$x=\frac{5}{4} x=-\frac{5}{6}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

დააჯგუფეთ 25x^{2} და -x^{2}, რათა მიიღოთ 24x^{2}.

$$24x^{2}-10x-25=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 24-ით a, -10-ით b და -25-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 24\left(-25\right)}}{2\times 24}$$

აიყვანეთ კვადრატში -10.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 24\left(-25\right)}}{2\times 24}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 24.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-96\left(-25\right)}}{2\times 24}$$

გაამრავლეთ -96-ზე -25.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+2400}}{2\times 24}$$

მიუმატეთ 100 2400-ს.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{2500}}{2\times 24}$$

აიღეთ 2500-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±50}{2\times 24}$$

-10-ის საპირისპიროა 10.

$$x=\frac{10±50}{2\times 24}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 24.

$$x=\frac{10±50}{48}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{10±50}{48} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 10 50-ს.

$$x=\frac{60}{48}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{60}{48} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 12-ის შეკვეცით.

$$x=\frac{5}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{10±50}{48} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 50 10-ს.

$$x=-\frac{40}{48}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-40}{48} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 8-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{5}{6}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{5}{4} x=-\frac{5}{6}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

დააჯგუფეთ 25x^{2} და -x^{2}, რათა მიიღოთ 24x^{2}.

$$24x^{2}-10x-25=0$$

დაამატეთ 25 ორივე მხარეს. თუ რიცხვს მივუმატებთ ნულს, მივიღებთ იმავე რიცხვს.

$$24x^{2}-10x=25$$

ორივე მხარე გაყავით 24-ზე.

$$\frac{24x^{2}-10x}{24}=\frac{25}{24}$$

24-ზე გაყოფა აუქმებს 24-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{24}\right)x=\frac{25}{24}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-10}{24} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x=\frac{25}{24}$$

გაყავით -\frac{5}{12}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{5}{24}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{5}{24}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\left(-\frac{5}{24}\right)^{2}=\frac{25}{24}+\left(-\frac{5}{24}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{5}{24} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}=\frac{25}{24}+\frac{25}{576}$$

მიუმატეთ \frac{25}{24} \frac{25}{576}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}=\frac{625}{576}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{24}\right)^{2}=\frac{625}{576}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{576}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{5}{24}=\frac{25}{24} x-\frac{5}{24}=-\frac{25}{24}$$

მიუმატეთ \frac{5}{24} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{5}{4} x=-\frac{5}{6}$$