გადაწყვიტეთ 25x^2+250x-15000=0

$$25 { x }^{ 2 } +250x-15000=0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-30$$

$$x=20$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

ორივე მხარე გაყავით 25-ზე.

$$x^{2}+10x-600=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც x^{2}+ax+bx-600. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=10 ab=1\left(-600\right)=-600$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -600.

$$-1,600 -2,300 -3,200 -4,150 -5,120 -6,100 -8,75 -10,60 -12,50 -15,40 -20,30 -24,25$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+600=599 -2+300=298 -3+200=197 -4+150=146 -5+120=115 -6+100=94 -8+75=67 -10+60=50 -12+50=38 -15+40=25 -20+30=10 -24+25=1$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 10.

$$a=-20 b=30$$

ხელახლა დაწერეთ x^{2}+10x-600, როგორც \left(x^{2}-20x\right)+\left(30x-600\right).

$$\left(x^{2}-20x\right)+\left(30x-600\right)$$

x-ის პირველ, 30-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$x\left(x-20\right)+30\left(x-20\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-20 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-20\right)\left(x+30\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-20=0 და x+30=0.

$$x=20 x=-30$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$25x^{2}+250x-15000=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 25-ით a, 250-ით b და -15000-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-250±\sqrt{250^{2}-4\times 25\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

აიყვანეთ კვადრატში 250.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500-4\times 25\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 25.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500-100\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

გაამრავლეთ -100-ზე -15000.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500+1500000}}{2\times 25}$$

მიუმატეთ 62500 1500000-ს.

$$x=\frac{-250±\sqrt{1562500}}{2\times 25}$$

აიღეთ 1562500-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-250±1250}{2\times 25}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 25.

$$x=\frac{-250±1250}{50}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-250±1250}{50} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -250 1250-ს.

$$x=\frac{1000}{50}$$

გაყავით 1000 50-ზე.

$$x=20$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-250±1250}{50} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 1250 -250-ს.

$$x=-\frac{1500}{50}$$

გაყავით -1500 50-ზე.

$$x=-30$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=20 x=-30$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}+250x-15000=0$$

მიუმატეთ 15000 განტოლების ორივე მხარეს.

$$25x^{2}+250x-15000-\left(-15000\right)=-\left(-15000\right)$$

-15000-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$25x^{2}+250x=-\left(-15000\right)$$

გამოაკელით -15000 0-ს.

$$25x^{2}+250x=15000$$

ორივე მხარე გაყავით 25-ზე.

$$\frac{25x^{2}+250x}{25}=\frac{15000}{25}$$

25-ზე გაყოფა აუქმებს 25-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{250}{25}x=\frac{15000}{25}$$

გაყავით 250 25-ზე.

$$x^{2}+10x=\frac{15000}{25}$$

გაყავით 15000 25-ზე.

$$x^{2}+10x=600$$

გაყავით 10, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, 5-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ 5-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+10x+5^{2}=600+5^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 5.

$$x^{2}+10x+25=600+25$$

მიუმატეთ 600 25-ს.

$$x^{2}+10x+25=625$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+10x+25. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+5\right)^{2}=625$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+5\right)^{2}}=\sqrt{625}$$

გაამარტივეთ.

$$x+5=25 x+5=-25$$

გამოაკელით 5 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=20 x=-30$$