გადაწყვიტეთ 24x^2-65x+21=0

$$24 x ^ { 2 } - 65 x + 21 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=\frac{3}{8}=0.375$$

$$x = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2.333333333$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 24x^{2}+ax+bx+21. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-65 ab=24\times 21=504$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b უარყოფითია, ორივე, a და b უარყოფითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 504.

$$-1,-504 -2,-252 -3,-168 -4,-126 -6,-84 -7,-72 -8,-63 -9,-56 -12,-42 -14,-36 -18,-28 -21,-24$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1-504=-505 -2-252=-254 -3-168=-171 -4-126=-130 -6-84=-90 -7-72=-79 -8-63=-71 -9-56=-65 -12-42=-54 -14-36=-50 -18-28=-46 -21-24=-45$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -65.

$$a=-56 b=-9$$

ხელახლა დაწერეთ 24x^{2}-65x+21, როგორც \left(24x^{2}-56x\right)+\left(-9x+21\right).

$$\left(24x^{2}-56x\right)+\left(-9x+21\right)$$

8x-ის პირველ, -3-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$8x\left(3x-7\right)-3\left(3x-7\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 3x-7 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(3x-7\right)\left(8x-3\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 3x-7=0 და 8x-3=0.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$24x^{2}-65x+21=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 24-ით a, -65-ით b და 21-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{\left(-65\right)^{2}-4\times 24\times 21}}{2\times 24}$$

აიყვანეთ კვადრატში -65.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-4\times 24\times 21}}{2\times 24}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 24.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-96\times 21}}{2\times 24}$$

გაამრავლეთ -96-ზე 21.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-2016}}{2\times 24}$$

მიუმატეთ 4225 -2016-ს.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{2209}}{2\times 24}$$

აიღეთ 2209-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±47}{2\times 24}$$

-65-ის საპირისპიროა 65.

$$x=\frac{65±47}{2\times 24}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 24.

$$x=\frac{65±47}{48}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{65±47}{48} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 65 47-ს.

$$x=\frac{112}{48}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{112}{48} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 16-ის შეკვეცით.

$$x=\frac{7}{3}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{65±47}{48} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 47 65-ს.

$$x=\frac{18}{48}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{18}{48} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 6-ის შეკვეცით.

$$x=\frac{3}{8}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$24x^{2}-65x+21=0$$

გამოაკელით 21 განტოლების ორივე მხარეს.

$$24x^{2}-65x+21-21=-21$$

21-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$24x^{2}-65x=-21$$

ორივე მხარე გაყავით 24-ზე.

$$\frac{24x^{2}-65x}{24}=-\frac{21}{24}$$

24-ზე გაყოფა აუქმებს 24-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x=-\frac{21}{24}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-21}{24} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 3-ის შეკვეცით.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x=-\frac{7}{8}$$

გაყავით -\frac{65}{24}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{65}{48}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{65}{48}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\left(-\frac{65}{48}\right)^{2}=-\frac{7}{8}+\left(-\frac{65}{48}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{65}{48} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}=-\frac{7}{8}+\frac{4225}{2304}$$

მიუმატეთ -\frac{7}{8} \frac{4225}{2304}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}=\frac{2209}{2304}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{65}{48}\right)^{2}=\frac{2209}{2304}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{65}{48}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2209}{2304}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{65}{48}=\frac{47}{48} x-\frac{65}{48}=-\frac{47}{48}$$

მიუმატეთ \frac{65}{48} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$