გადაწყვიტეთ 2y^2+2y-1=0

$$2 y ^ { 2 } + 2 y - 1 = 0$$

ამოხსნა y-ისთვის

$$y=\frac{\sqrt{3}-1}{2}\approx 0.366025404$$

$$y=\frac{-\sqrt{3}-1}{2}\approx -1.366025404$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$2y^{2}+2y-1=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 2-ით a, 2-ით b და -1-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 2.

$$y=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 2.

$$y=\frac{-2±\sqrt{4-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -8-ზე -1.

$$y=\frac{-2±\sqrt{4+8}}{2\times 2}$$

მიუმატეთ 4 8-ს.

$$y=\frac{-2±\sqrt{12}}{2\times 2}$$

აიღეთ 12-ის კვადრატული ფესვი.

$$y=\frac{-2±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 2.

$$y=\frac{-2±2\sqrt{3}}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება y=\frac{-2±2\sqrt{3}}{4} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -2 2\sqrt{3}-ს.

$$y=\frac{2\sqrt{3}-2}{4}$$

გაყავით -2+2\sqrt{3} 4-ზე.

$$y=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება y=\frac{-2±2\sqrt{3}}{4} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2\sqrt{3} -2-ს.

$$y=\frac{-2\sqrt{3}-2}{4}$$

გაყავით -2-2\sqrt{3} 4-ზე.

$$y=\frac{-\sqrt{3}-1}{2}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$y=\frac{\sqrt{3}-1}{2} y=\frac{-\sqrt{3}-1}{2}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$2y^{2}+2y-1=0$$

მიუმატეთ 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2y^{2}+2y-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

-1-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$2y^{2}+2y=-\left(-1\right)$$

გამოაკელით -1 0-ს.

$$2y^{2}+2y=1$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$\frac{2y^{2}+2y}{2}=\frac{1}{2}$$

2-ზე გაყოფა აუქმებს 2-ზე გამრავლებას.

$$y^{2}+\frac{2}{2}y=\frac{1}{2}$$

გაყავით 2 2-ზე.

$$y^{2}+y=\frac{1}{2}$$

გაყავით 1, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{1}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{1}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$y^{2}+y+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{1}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$y^{2}+y+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

მიუმატეთ \frac{1}{2} \frac{1}{4}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$y^{2}+y+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად y^{2}+y+\frac{1}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(y+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$y+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} y+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

გამოაკელით \frac{1}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=\frac{\sqrt{3}-1}{2} y=\frac{-\sqrt{3}-1}{2}$$