გადაწყვიტეთ 2x^2-3x-1=-5

$$2 x ^ { 2 } - 3 x - 1 = - 5$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{3+\sqrt{23}i}{4}\approx 0.75+1.198957881i$$

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+3}{4}\approx 0.75-1.198957881i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$2x^{2}-3x-1=-5$$

მიუმატეთ 5 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x^{2}-3x-1-\left(-5\right)=-5-\left(-5\right)$$

-5-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$2x^{2}-3x-1-\left(-5\right)=0$$

გამოაკელით -5 -1-ს.

$$2x^{2}-3x+4=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 2-ით a, -3-ით b და 4-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2\times 4}}{2\times 2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 2\times 4}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 2.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8\times 4}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -8-ზე 4.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-32}}{2\times 2}$$

მიუმატეთ 9 -32-ს.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{-23}}{2\times 2}$$

აიღეთ -23-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{23}i}{2\times 2}$$

-3-ის საპირისპიროა 3.

$$x=\frac{3±\sqrt{23}i}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 2.

$$x=\frac{3±\sqrt{23}i}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{3±\sqrt{23}i}{4} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 3 i\sqrt{23}-ს.

$$x=\frac{3+\sqrt{23}i}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{3±\sqrt{23}i}{4} როცა ± მინუსია. გამოაკელით i\sqrt{23} 3-ს.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+3}{4}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{3+\sqrt{23}i}{4} x=\frac{-\sqrt{23}i+3}{4}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-3x-1=-5$$

მიუმატეთ 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x^{2}-3x-1-\left(-1\right)=-5-\left(-1\right)$$

-1-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$2x^{2}-3x=-5-\left(-1\right)$$

გამოაკელით -1 -5-ს.

$$2x^{2}-3x=-4$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$\frac{2x^{2}-3x}{2}=-\frac{4}{2}$$

2-ზე გაყოფა აუქმებს 2-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{4}{2}$$

გაყავით -4 2-ზე.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-2$$

გაყავით -\frac{3}{2}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{3}{4}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{3}{4}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=-2+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{3}{4} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-2+\frac{9}{16}$$

მიუმატეთ -2 \frac{9}{16}-ს.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{23}{16}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{23}{16}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{23}{16}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{23}i}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{23}i}{4}$$

მიუმატეთ \frac{3}{4} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{3+\sqrt{23}i}{4} x=\frac{-\sqrt{23}i+3}{4}$$