გადაწყვიტეთ 2x^2-15x-1=0

$$2 x ^ { 2 } - 15 x - 1 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = \frac{\sqrt{233} + 15}{4} \approx 7.566084381$$

$$x=\frac{15-\sqrt{233}}{4}\approx -0.066084381$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$2x^{2}-15x-1=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 2-ით a, -15-ით b და -1-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -15.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 2.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -8-ზე -1.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+8}}{2\times 2}$$

მიუმატეთ 225 8-ს.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{233}}{2\times 2}$$

-15-ის საპირისპიროა 15.

$$x=\frac{15±\sqrt{233}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 2.

$$x=\frac{15±\sqrt{233}}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{15±\sqrt{233}}{4} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 15 \sqrt{233}-ს.

$$x=\frac{\sqrt{233}+15}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{15±\sqrt{233}}{4} როცა ± მინუსია. გამოაკელით \sqrt{233} 15-ს.

$$x=\frac{15-\sqrt{233}}{4}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{\sqrt{233}+15}{4} x=\frac{15-\sqrt{233}}{4}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-15x-1=0$$

მიუმატეთ 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x^{2}-15x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

-1-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$2x^{2}-15x=-\left(-1\right)$$

გამოაკელით -1 0-ს.

$$2x^{2}-15x=1$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$\frac{2x^{2}-15x}{2}=\frac{1}{2}$$

2-ზე გაყოფა აუქმებს 2-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x=\frac{1}{2}$$

გაყავით -\frac{15}{2}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{15}{4}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{15}{4}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x+\left(-\frac{15}{4}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{15}{4}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{15}{4} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x+\frac{225}{16}=\frac{1}{2}+\frac{225}{16}$$

მიუმატეთ \frac{1}{2} \frac{225}{16}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x+\frac{225}{16}=\frac{233}{16}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{15}{2}x+\frac{225}{16}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{4}\right)^{2}=\frac{233}{16}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{233}{16}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{15}{4}=\frac{\sqrt{233}}{4} x-\frac{15}{4}=-\frac{\sqrt{233}}{4}$$

მიუმატეთ \frac{15}{4} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{\sqrt{233}+15}{4} x=\frac{15-\sqrt{233}}{4}$$