გადაწყვიტეთ 2x^2-11x+16=0

$$2 x ^ { 2 } - 11 x + 16 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{11+\sqrt{7}i}{4}\approx 2.75+0.661437828i$$

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+11}{4}\approx 2.75-0.661437828i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$2x^{2}-11x+16=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 2-ით a, -11-ით b და 16-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 2\times 16}}{2\times 2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -11.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 2\times 16}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 2.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-8\times 16}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -8-ზე 16.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-128}}{2\times 2}$$

მიუმატეთ 121 -128-ს.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{-7}}{2\times 2}$$

აიღეთ -7-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{7}i}{2\times 2}$$

-11-ის საპირისპიროა 11.

$$x=\frac{11±\sqrt{7}i}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 2.

$$x=\frac{11±\sqrt{7}i}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{11±\sqrt{7}i}{4} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 11 i\sqrt{7}-ს.

$$x=\frac{11+\sqrt{7}i}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{11±\sqrt{7}i}{4} როცა ± მინუსია. გამოაკელით i\sqrt{7} 11-ს.

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+11}{4}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{11+\sqrt{7}i}{4} x=\frac{-\sqrt{7}i+11}{4}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-11x+16=0$$

გამოაკელით 16 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x^{2}-11x+16-16=-16$$

16-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$2x^{2}-11x=-16$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$\frac{2x^{2}-11x}{2}=-\frac{16}{2}$$

2-ზე გაყოფა აუქმებს 2-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=-\frac{16}{2}$$

გაყავით -16 2-ზე.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=-8$$

გაყავით -\frac{11}{2}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{11}{4}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{11}{4}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=-8+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{11}{4} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=-8+\frac{121}{16}$$

მიუმატეთ -8 \frac{121}{16}-ს.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=-\frac{7}{16}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{16}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{16}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{11}{4}=\frac{\sqrt{7}i}{4} x-\frac{11}{4}=-\frac{\sqrt{7}i}{4}$$

მიუმატეთ \frac{11}{4} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{11+\sqrt{7}i}{4} x=\frac{-\sqrt{7}i+11}{4}$$