გადაწყვიტეთ 2x^2+9x+7=0

$$2 x ^ { 2 } + 9 x + 7 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

$$x=-1$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 2x^{2}+ax+bx+7. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=9 ab=2\times 7=14$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b დადებითია, ორივე, a და b დადებითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 14.

$$1,14 2,7$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1+14=15 2+7=9$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 9.

$$a=2 b=7$$

ხელახლა დაწერეთ 2x^{2}+9x+7, როგორც \left(2x^{2}+2x\right)+\left(7x+7\right).

$$\left(2x^{2}+2x\right)+\left(7x+7\right)$$

2x-ის პირველ, 7-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$2x\left(x+1\right)+7\left(x+1\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x+1 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x+1\right)\left(2x+7\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x+1=0 და 2x+7=0.

$$x=-1 x=-\frac{7}{2}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$2x^{2}+9x+7=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 2-ით a, 9-ით b და 7-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 2.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-8\times 7}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -8-ზე 7.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-56}}{2\times 2}$$

მიუმატეთ 81 -56-ს.

$$x=\frac{-9±\sqrt{25}}{2\times 2}$$

აიღეთ 25-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-9±5}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 2.

$$x=\frac{-9±5}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-9±5}{4} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -9 5-ს.

$$x=-\frac{4}{4}$$

გაყავით -4 4-ზე.

$$x=-1$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-9±5}{4} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 5 -9-ს.

$$x=-\frac{14}{4}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-14}{4} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{7}{2}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=-1 x=-\frac{7}{2}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+9x+7=0$$

გამოაკელით 7 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x^{2}+9x+7-7=-7$$

7-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$2x^{2}+9x=-7$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$\frac{2x^{2}+9x}{2}=-\frac{7}{2}$$

2-ზე გაყოფა აუქმებს 2-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x=-\frac{7}{2}$$

გაყავით \frac{9}{2}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{9}{4}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{9}{4}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{9}{4} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=-\frac{7}{2}+\frac{81}{16}$$

მიუმატეთ -\frac{7}{2} \frac{81}{16}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{25}{16}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{16}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{9}{4}=\frac{5}{4} x+\frac{9}{4}=-\frac{5}{4}$$

გამოაკელით \frac{9}{4} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-1 x=-\frac{7}{2}$$