გადაწყვიტეთ 16x^2+8x-3=0

$$16 x ^ { 2 } + 8 x - 3 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-\frac{3}{4}=-0.75$$

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 16x^{2}+ax+bx-3. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=8 ab=16\left(-3\right)=-48$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -48.

$$-1,48 -2,24 -3,16 -4,12 -6,8$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+48=47 -2+24=22 -3+16=13 -4+12=8 -6+8=2$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 8.

$$a=-4 b=12$$

ხელახლა დაწერეთ 16x^{2}+8x-3, როგორც \left(16x^{2}-4x\right)+\left(12x-3\right).

$$\left(16x^{2}-4x\right)+\left(12x-3\right)$$

4x-ის პირველ, 3-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$4x\left(4x-1\right)+3\left(4x-1\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 4x-1 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(4x-1\right)\left(4x+3\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 4x-1=0 და 4x+3=0.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{3}{4}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$16x^{2}+8x-3=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 16-ით a, 8-ით b და -3-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 16\left(-3\right)}}{2\times 16}$$

აიყვანეთ კვადრატში 8.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 16\left(-3\right)}}{2\times 16}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 16.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-64\left(-3\right)}}{2\times 16}$$

გაამრავლეთ -64-ზე -3.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+192}}{2\times 16}$$

მიუმატეთ 64 192-ს.

$$x=\frac{-8±\sqrt{256}}{2\times 16}$$

აიღეთ 256-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-8±16}{2\times 16}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 16.

$$x=\frac{-8±16}{32}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-8±16}{32} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -8 16-ს.

$$x=\frac{8}{32}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{8}{32} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 8-ის შეკვეცით.

$$x=\frac{1}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-8±16}{32} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 16 -8-ს.

$$x=-\frac{24}{32}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-24}{32} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 8-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{3}{4}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{3}{4}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}+8x-3=0$$

მიუმატეთ 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$16x^{2}+8x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

-3-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$16x^{2}+8x=-\left(-3\right)$$

გამოაკელით -3 0-ს.

$$16x^{2}+8x=3$$

ორივე მხარე გაყავით 16-ზე.

$$\frac{16x^{2}+8x}{16}=\frac{3}{16}$$

16-ზე გაყოფა აუქმებს 16-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{8}{16}x=\frac{3}{16}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{8}{16} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 8-ის შეკვეცით.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{3}{16}$$

გაყავით \frac{1}{2}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{1}{4}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{1}{4}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{3}{16}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{1}{4} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{3+1}{16}$$

მიუმატეთ \frac{3}{16} \frac{1}{16}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{1}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2} x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}$$

გამოაკელით \frac{1}{4} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{3}{4}$$