გადაწყვიტეთ 15y^2+8y+1=0

$$15 y ^ { 2 } + 8 y + 1 = 0$$

ამოხსნა y-ისთვის

$$y=-\frac{1}{5}=-0.2$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 15y^{2}+ay+by+1. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=8 ab=15\times 1=15$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b დადებითია, ორივე, a და b დადებითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 15.

$$1,15 3,5$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1+15=16 3+5=8$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 8.

$$a=3 b=5$$

ხელახლა დაწერეთ 15y^{2}+8y+1, როგორც \left(15y^{2}+3y\right)+\left(5y+1\right).

$$\left(15y^{2}+3y\right)+\left(5y+1\right)$$

მამრავლებად დაშალეთ 3y 15y^{2}+3y-ში.

$$3y\left(5y+1\right)+5y+1$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 5y+1 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(5y+1\right)\left(3y+1\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 5y+1=0 და 3y+1=0.

$$y=-\frac{1}{5} y=-\frac{1}{3}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$15y^{2}+8y+1=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 15-ით a, 8-ით b და 1-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 15}}{2\times 15}$$

აიყვანეთ კვადრატში 8.

$$y=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 15}}{2\times 15}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 15.

$$y=\frac{-8±\sqrt{64-60}}{2\times 15}$$

მიუმატეთ 64 -60-ს.

$$y=\frac{-8±\sqrt{4}}{2\times 15}$$

აიღეთ 4-ის კვადრატული ფესვი.

$$y=\frac{-8±2}{2\times 15}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 15.

$$y=\frac{-8±2}{30}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება y=\frac{-8±2}{30} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -8 2-ს.

$$y=-\frac{6}{30}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-6}{30} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 6-ის შეკვეცით.

$$y=-\frac{1}{5}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება y=\frac{-8±2}{30} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2 -8-ს.

$$y=-\frac{10}{30}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-10}{30} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 10-ის შეკვეცით.

$$y=-\frac{1}{3}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$y=-\frac{1}{5} y=-\frac{1}{3}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$15y^{2}+8y+1=0$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$15y^{2}+8y+1-1=-1$$

1-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$15y^{2}+8y=-1$$

ორივე მხარე გაყავით 15-ზე.

$$\frac{15y^{2}+8y}{15}=-\frac{1}{15}$$

15-ზე გაყოფა აუქმებს 15-ზე გამრავლებას.

$$y^{2}+\frac{8}{15}y=-\frac{1}{15}$$

გაყავით \frac{8}{15}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{4}{15}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{4}{15}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$y^{2}+\frac{8}{15}y+\left(\frac{4}{15}\right)^{2}=-\frac{1}{15}+\left(\frac{4}{15}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{4}{15} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$y^{2}+\frac{8}{15}y+\frac{16}{225}=-\frac{1}{15}+\frac{16}{225}$$

მიუმატეთ -\frac{1}{15} \frac{16}{225}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$y^{2}+\frac{8}{15}y+\frac{16}{225}=\frac{1}{225}$$

დაშალეთ მამრავლებად y^{2}+\frac{8}{15}y+\frac{16}{225}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{4}{15}\right)^{2}=\frac{1}{225}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(y+\frac{4}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{225}}$$

გაამარტივეთ.

$$y+\frac{4}{15}=\frac{1}{15} y+\frac{4}{15}=-\frac{1}{15}$$

გამოაკელით \frac{4}{15} განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=-\frac{1}{5} y=-\frac{1}{3}$$