გადაწყვიტეთ 125x^2-78*5x+36125=0

$$125 x ^ { 2 } - 78 \cdot 5 x + 36125 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{39+4\sqrt{11194}i}{25}\approx 1.56+16.92827221i$$

$$x=\frac{-4\sqrt{11194}i+39}{25}\approx 1.56-16.92827221i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$125x^{2}-390x+36125=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 125-ით a, -390-ით b და 36125-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-390\right)±\sqrt{\left(-390\right)^{2}-4\times 125\times 36125}}{2\times 125}$$

აიყვანეთ კვადრატში -390.

$$x=\frac{-\left(-390\right)±\sqrt{152100-4\times 125\times 36125}}{2\times 125}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 125.

$$x=\frac{-\left(-390\right)±\sqrt{152100-500\times 36125}}{2\times 125}$$

გაამრავლეთ -500-ზე 36125.

$$x=\frac{-\left(-390\right)±\sqrt{152100-18062500}}{2\times 125}$$

მიუმატეთ 152100 -18062500-ს.

$$x=\frac{-\left(-390\right)±\sqrt{-17910400}}{2\times 125}$$

აიღეთ -17910400-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-390\right)±40\sqrt{11194}i}{2\times 125}$$

-390-ის საპირისპიროა 390.

$$x=\frac{390±40\sqrt{11194}i}{2\times 125}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 125.

$$x=\frac{390±40\sqrt{11194}i}{250}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{390±40\sqrt{11194}i}{250} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 390 40i\sqrt{11194}-ს.

$$x=\frac{390+40\sqrt{11194}i}{250}$$

გაყავით 390+40i\sqrt{11194} 250-ზე.

$$x=\frac{39+4\sqrt{11194}i}{25}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{390±40\sqrt{11194}i}{250} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 40i\sqrt{11194} 390-ს.

$$x=\frac{-40\sqrt{11194}i+390}{250}$$

გაყავით 390-40i\sqrt{11194} 250-ზე.

$$x=\frac{-4\sqrt{11194}i+39}{25}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{39+4\sqrt{11194}i}{25} x=\frac{-4\sqrt{11194}i+39}{25}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$125x^{2}-390x+36125=0$$

გამოაკელით 36125 განტოლების ორივე მხარეს.

$$125x^{2}-390x+36125-36125=-36125$$

36125-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$125x^{2}-390x=-36125$$

ორივე მხარე გაყავით 125-ზე.

$$\frac{125x^{2}-390x}{125}=-\frac{36125}{125}$$

125-ზე გაყოფა აუქმებს 125-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{390}{125}\right)x=-\frac{36125}{125}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-390}{125} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 5-ის შეკვეცით.

$$x^{2}-\frac{78}{25}x=-\frac{36125}{125}$$

გაყავით -36125 125-ზე.

$$x^{2}-\frac{78}{25}x=-289$$

გაყავით -\frac{78}{25}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{39}{25}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{39}{25}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{78}{25}x+\left(-\frac{39}{25}\right)^{2}=-289+\left(-\frac{39}{25}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{39}{25} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{78}{25}x+\frac{1521}{625}=-289+\frac{1521}{625}$$

მიუმატეთ -289 \frac{1521}{625}-ს.

$$x^{2}-\frac{78}{25}x+\frac{1521}{625}=-\frac{179104}{625}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{78}{25}x+\frac{1521}{625}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{39}{25}\right)^{2}=-\frac{179104}{625}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{39}{25}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{179104}{625}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{39}{25}=\frac{4\sqrt{11194}i}{25} x-\frac{39}{25}=-\frac{4\sqrt{11194}i}{25}$$

მიუმატეთ \frac{39}{25} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{39+4\sqrt{11194}i}{25} x=\frac{-4\sqrt{11194}i+39}{25}$$