გადაწყვიტეთ 12x^2+36x+27=0

$$12 { x }^{ 2 } +36x+27=0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$4x^{2}+12x+9=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 4x^{2}+ax+bx+9. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=12 ab=4\times 9=36$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b დადებითია, ორივე, a და b დადებითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 36.

$$1,36 2,18 3,12 4,9 6,6$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1+36=37 2+18=20 3+12=15 4+9=13 6+6=12$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 12.

$$a=6 b=6$$

ხელახლა დაწერეთ 4x^{2}+12x+9, როგორც \left(4x^{2}+6x\right)+\left(6x+9\right).

$$\left(4x^{2}+6x\right)+\left(6x+9\right)$$

2x-ის პირველ, 3-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$2x\left(2x+3\right)+3\left(2x+3\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 2x+3 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(2x+3\right)\left(2x+3\right)$$

გადაწერეთ ბინომის კვადრატის სახით.

$$\left(2x+3\right)^{2}$$

განტოლების პასუხის მისაღებად ამოხსენით 2x+3=0.

$$x=-\frac{3}{2}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$12x^{2}+36x+27=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 12-ით a, 36-ით b და 27-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 12\times 27}}{2\times 12}$$

აიყვანეთ კვადრატში 36.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 12\times 27}}{2\times 12}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 12.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-48\times 27}}{2\times 12}$$

გაამრავლეთ -48-ზე 27.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-1296}}{2\times 12}$$

მიუმატეთ 1296 -1296-ს.

$$x=\frac{-36±\sqrt{0}}{2\times 12}$$

აიღეთ 0-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=-\frac{36}{2\times 12}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 12.

$$x=-\frac{36}{24}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-36}{24} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 12-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{3}{2}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+36x+27=0$$

გამოაკელით 27 განტოლების ორივე მხარეს.

$$12x^{2}+36x+27-27=-27$$

27-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$12x^{2}+36x=-27$$

ორივე მხარე გაყავით 12-ზე.

$$\frac{12x^{2}+36x}{12}=-\frac{27}{12}$$

12-ზე გაყოფა აუქმებს 12-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{36}{12}x=-\frac{27}{12}$$

გაყავით 36 12-ზე.

$$x^{2}+3x=-\frac{27}{12}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-27}{12} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 3-ის შეკვეცით.

$$x^{2}+3x=-\frac{9}{4}$$

გაყავით 3, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{3}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{3}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{3}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{-9+9}{4}$$

მიუმატეთ -\frac{9}{4} \frac{9}{4}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=0$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+3x+\frac{9}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=0$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{3}{2}=0 x+\frac{3}{2}=0$$

გამოაკელით \frac{3}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-\frac{3}{2} x=-\frac{3}{2}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია. ამონახსბები იგივეა.

$$x=-\frac{3}{2}$$