გადაწყვიტეთ 11x^2-10x+13=0

$$11 x ^ { 2 } - 10 x + 13 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11}\approx 0.454545455+0.987525499i$$

$$x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}\approx 0.454545455-0.987525499i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$11x^{2}-10x+13=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 11-ით a, -10-ით b და 13-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 11\times 13}}{2\times 11}$$

აიყვანეთ კვადრატში -10.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 11\times 13}}{2\times 11}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 11.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-44\times 13}}{2\times 11}$$

გაამრავლეთ -44-ზე 13.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-572}}{2\times 11}$$

მიუმატეთ 100 -572-ს.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{-472}}{2\times 11}$$

აიღეთ -472-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{118}i}{2\times 11}$$

-10-ის საპირისპიროა 10.

$$x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{2\times 11}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 11.

$$x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{22}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{22} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 10 2i\sqrt{118}-ს.

$$x=\frac{10+2\sqrt{118}i}{22}$$

გაყავით 10+2i\sqrt{118} 22-ზე.

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{22} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2i\sqrt{118} 10-ს.

$$x=\frac{-2\sqrt{118}i+10}{22}$$

გაყავით 10-2i\sqrt{118} 22-ზე.

$$x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11} x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$11x^{2}-10x+13=0$$

გამოაკელით 13 განტოლების ორივე მხარეს.

$$11x^{2}-10x+13-13=-13$$

13-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$11x^{2}-10x=-13$$

ორივე მხარე გაყავით 11-ზე.

$$\frac{11x^{2}-10x}{11}=-\frac{13}{11}$$

11-ზე გაყოფა აუქმებს 11-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}-\frac{10}{11}x=-\frac{13}{11}$$

გაყავით -\frac{10}{11}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{5}{11}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{5}{11}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{10}{11}x+\left(-\frac{5}{11}\right)^{2}=-\frac{13}{11}+\left(-\frac{5}{11}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{5}{11} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{10}{11}x+\frac{25}{121}=-\frac{13}{11}+\frac{25}{121}$$

მიუმატეთ -\frac{13}{11} \frac{25}{121}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{10}{11}x+\frac{25}{121}=-\frac{118}{121}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{10}{11}x+\frac{25}{121}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{11}\right)^{2}=-\frac{118}{121}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{11}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{118}{121}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{5}{11}=\frac{\sqrt{118}i}{11} x-\frac{5}{11}=-\frac{\sqrt{118}i}{11}$$

მიუმატეთ \frac{5}{11} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11} x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}$$