გადაწყვიტეთ 11x^2-9x+1>0

$$11 { x }^{ 2 } -9x+1 > 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x\in \left(-\infty,\frac{9-\sqrt{37}}{22}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{37}+9}{22},\infty\right)$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

უტოლობის ამოსახსნელად დაშალეთ მამრავლებად მარცხენა მხარე. კვადრატული მრავალწევრი შეიძლება მამრავლებად დაიშალოს გარდაქმნით ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), სადაც x_{1} და x_{2} კვადრატული განტოლების ax^{2}+bx+c=0 ამონახსნებია.

$$11x^{2}-9x+1=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. ჩაანაცვლეთ 11 a-თვის, -9 b-თვის და 1 c-თვის კვადრატულ ფორმულაში.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 11\times 1}}{2\times 11}$$

შეასრულეთ გამოთვლები.

$$x=\frac{9±\sqrt{37}}{22}$$

ამოხსენით განტოლება x=\frac{9±\sqrt{37}}{22}, როცა ± არის პლუსი და როცა ± არის მინუსი.

$$x=\frac{\sqrt{37}+9}{22} x=\frac{9-\sqrt{37}}{22}$$

ხელახლა ჩაწერეთ უტოლობა მიღებული ამონახსნების გამოყენებით.

$$11\left(x-\frac{\sqrt{37}+9}{22}\right)\left(x-\frac{9-\sqrt{37}}{22}\right)>0$$

დადებითი ნამრავლის მისაღებად x-\frac{\sqrt{37}+9}{22}-ს და x-\frac{9-\sqrt{37}}{22}-ს ორივეს უნდა ჰქონდეთ დადებითი ან უარყოფითი ნიშნები. განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც x-\frac{\sqrt{37}+9}{22} და x-\frac{9-\sqrt{37}}{22} ორივე უარყოფითია.

$$x-\frac{\sqrt{37}+9}{22}<0 x-\frac{9-\sqrt{37}}{22}<0$$

ამონახსნი, რომელიც აკმაყოფილებს ორივე უტოლობას, არის x<\frac{9-\sqrt{37}}{22}.

$$x<\frac{9-\sqrt{37}}{22}$$

განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც x-\frac{\sqrt{37}+9}{22} და x-\frac{9-\sqrt{37}}{22} ორივე დადებითია.

$$x-\frac{9-\sqrt{37}}{22}>0 x-\frac{\sqrt{37}+9}{22}>0$$

ამონახსნი, რომელიც აკმაყოფილებს ორივე უტოლობას, არის x>\frac{\sqrt{37}+9}{22}.

$$x>\frac{\sqrt{37}+9}{22}$$

საბოლოო ამონახსნი წარმოადგენს მიღებული ამონახსნების გაერთიანებას.

$$x<\frac{9-\sqrt{37}}{22}\text{; }x>\frac{\sqrt{37}+9}{22}$$