გადაწყვიტეთ 1000x^2+6125x+125=0

$$1000 { x }^{ 2 } +6125x+125=0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=\frac{\sqrt{2369}-49}{16}\approx -0.020476619$$

$$x=\frac{-\sqrt{2369}-49}{16}\approx -6.104523381$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$1000x^{2}+6125x+125=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 1000-ით a, 6125-ით b და 125-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6125±\sqrt{6125^{2}-4\times 1000\times 125}}{2\times 1000}$$

აიყვანეთ კვადრატში 6125.

$$x=\frac{-6125±\sqrt{37515625-4\times 1000\times 125}}{2\times 1000}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 1000.

$$x=\frac{-6125±\sqrt{37515625-4000\times 125}}{2\times 1000}$$

გაამრავლეთ -4000-ზე 125.

$$x=\frac{-6125±\sqrt{37515625-500000}}{2\times 1000}$$

მიუმატეთ 37515625 -500000-ს.

$$x=\frac{-6125±\sqrt{37015625}}{2\times 1000}$$

აიღეთ 37015625-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-6125±125\sqrt{2369}}{2\times 1000}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 1000.

$$x=\frac{-6125±125\sqrt{2369}}{2000}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-6125±125\sqrt{2369}}{2000} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -6125 125\sqrt{2369}-ს.

$$x=\frac{125\sqrt{2369}-6125}{2000}$$

გაყავით -6125+125\sqrt{2369} 2000-ზე.

$$x=\frac{\sqrt{2369}-49}{16}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-6125±125\sqrt{2369}}{2000} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 125\sqrt{2369} -6125-ს.

$$x=\frac{-125\sqrt{2369}-6125}{2000}$$

გაყავით -6125-125\sqrt{2369} 2000-ზე.

$$x=\frac{-\sqrt{2369}-49}{16}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{\sqrt{2369}-49}{16} x=\frac{-\sqrt{2369}-49}{16}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$1000x^{2}+6125x+125=0$$

გამოაკელით 125 განტოლების ორივე მხარეს.

$$1000x^{2}+6125x+125-125=-125$$

125-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$1000x^{2}+6125x=-125$$

ორივე მხარე გაყავით 1000-ზე.

$$\frac{1000x^{2}+6125x}{1000}=-\frac{125}{1000}$$

1000-ზე გაყოფა აუქმებს 1000-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{6125}{1000}x=-\frac{125}{1000}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{6125}{1000} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 125-ის შეკვეცით.

$$x^{2}+\frac{49}{8}x=-\frac{125}{1000}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-125}{1000} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 125-ის შეკვეცით.

$$x^{2}+\frac{49}{8}x=-\frac{1}{8}$$

გაყავით \frac{49}{8}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{49}{16}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{49}{16}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{49}{8}x+\left(\frac{49}{16}\right)^{2}=-\frac{1}{8}+\left(\frac{49}{16}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{49}{16} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{49}{8}x+\frac{2401}{256}=-\frac{1}{8}+\frac{2401}{256}$$

მიუმატეთ -\frac{1}{8} \frac{2401}{256}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{49}{8}x+\frac{2401}{256}=\frac{2369}{256}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{49}{8}x+\frac{2401}{256}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{49}{16}\right)^{2}=\frac{2369}{256}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{49}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2369}{256}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{49}{16}=\frac{\sqrt{2369}}{16} x+\frac{49}{16}=-\frac{\sqrt{2369}}{16}$$

გამოაკელით \frac{49}{16} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{\sqrt{2369}-49}{16} x=\frac{-\sqrt{2369}-49}{16}$$