გადაწყვიტეთ -3x^2+4x+4=0

$$-3 { x }^{ 2 } +4x+4=0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$x=2$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც -3x^{2}+ax+bx+4. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=4 ab=-3\times 4=-12$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 4.

$$a=6 b=-2$$

ხელახლა დაწერეთ -3x^{2}+4x+4, როგორც \left(-3x^{2}+6x\right)+\left(-2x+4\right).

$$\left(-3x^{2}+6x\right)+\left(-2x+4\right)$$

3x-ის პირველ, 2-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$3x\left(-x+2\right)+2\left(-x+2\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი -x+2 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(-x+2\right)\left(3x+2\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით -x+2=0 და 3x+2=0.

$$x=2 x=-\frac{2}{3}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-3x^{2}+4x+4=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -3-ით a, 4-ით b და 4-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-3\right)\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-3\right)\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+12\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

გაამრავლეთ 12-ზე 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+48}}{2\left(-3\right)}$$

მიუმატეთ 16 48-ს.

$$x=\frac{-4±\sqrt{64}}{2\left(-3\right)}$$

აიღეთ 64-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-4±8}{2\left(-3\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -3.

$$x=\frac{-4±8}{-6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-4±8}{-6} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -4 8-ს.

$$x=\frac{4}{-6}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{4}{-6} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{2}{3}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-4±8}{-6} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 8 -4-ს.

$$x=-\frac{12}{-6}$$

გაყავით -12 -6-ზე.

$$x=2$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{2}{3} x=2$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+4x+4=0$$

გამოაკელით 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-3x^{2}+4x+4-4=-4$$

4-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$-3x^{2}+4x=-4$$

ორივე მხარე გაყავით -3-ზე.

$$\frac{-3x^{2}+4x}{-3}=-\frac{4}{-3}$$

-3-ზე გაყოფა აუქმებს -3-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{4}{-3}x=-\frac{4}{-3}$$

გაყავით 4 -3-ზე.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=-\frac{4}{-3}$$

გაყავით -4 -3-ზე.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=\frac{4}{3}$$

გაყავით -\frac{4}{3}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{2}{3}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{2}{3}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{4}{3}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{2}{3} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{4}{3}+\frac{4}{9}$$

მიუმატეთ \frac{4}{3} \frac{4}{9}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{16}{9}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{16}{9}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{9}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{4}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{4}{3}$$

მიუმატეთ \frac{2}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=2 x=-\frac{2}{3}$$