გადაწყვიტეთ -3x^2+16x+128=0

$$-3 { x }^{ 2 } +16x+128=0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = \frac{8 \sqrt{7} + 8}{3} \approx 9.722003496$$

$$x=\frac{8-8\sqrt{7}}{3}\approx -4.388670163$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-3x^{2}+16x+128=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -3-ით a, 16-ით b და 128-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\left(-3\right)\times 128}}{2\left(-3\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში 16.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\left(-3\right)\times 128}}{2\left(-3\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -3.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+12\times 128}}{2\left(-3\right)}$$

გაამრავლეთ 12-ზე 128.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+1536}}{2\left(-3\right)}$$

მიუმატეთ 256 1536-ს.

$$x=\frac{-16±\sqrt{1792}}{2\left(-3\right)}$$

აიღეთ 1792-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-16±16\sqrt{7}}{2\left(-3\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -3.

$$x=\frac{-16±16\sqrt{7}}{-6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-16±16\sqrt{7}}{-6} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -16 16\sqrt{7}-ს.

$$x=\frac{16\sqrt{7}-16}{-6}$$

გაყავით -16+16\sqrt{7} -6-ზე.

$$x=\frac{8-8\sqrt{7}}{3}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-16±16\sqrt{7}}{-6} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 16\sqrt{7} -16-ს.

$$x=\frac{-16\sqrt{7}-16}{-6}$$

გაყავით -16-16\sqrt{7} -6-ზე.

$$x=\frac{8\sqrt{7}+8}{3}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{8-8\sqrt{7}}{3} x=\frac{8\sqrt{7}+8}{3}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+16x+128=0$$

გამოაკელით 128 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-3x^{2}+16x+128-128=-128$$

128-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$-3x^{2}+16x=-128$$

ორივე მხარე გაყავით -3-ზე.

$$\frac{-3x^{2}+16x}{-3}=-\frac{128}{-3}$$

-3-ზე გაყოფა აუქმებს -3-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{16}{-3}x=-\frac{128}{-3}$$

გაყავით 16 -3-ზე.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x=-\frac{128}{-3}$$

გაყავით -128 -3-ზე.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x=\frac{128}{3}$$

გაყავით -\frac{16}{3}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{8}{3}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{8}{3}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{128}{3}+\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{8}{3} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{128}{3}+\frac{64}{9}$$

მიუმატეთ \frac{128}{3} \frac{64}{9}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{448}{9}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{448}{9}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{448}{9}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{8}{3}=\frac{8\sqrt{7}}{3} x-\frac{8}{3}=-\frac{8\sqrt{7}}{3}$$

მიუმატეთ \frac{8}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{8\sqrt{7}+8}{3} x=\frac{8-8\sqrt{7}}{3}$$