გადაწყვიტეთ (3x+1)^2-5(x+1)(x-1)=8-x

$$( 3 x + 1 ) ^ { 2 } - 5 ( x + 1 ) ( x - 1 ) = 8 - x$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-2$$

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(3x+1\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)=8-x$$

გამოაკელით 8 ორივე მხარეს.

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)-8=-x$$

დაამატეთ x ორივე მხარეს.

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)-8+x=0$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -5 x+1-ზე.

$$9x^{2}+6x+1+\left(-5x-5\right)\left(x-1\right)-8+x=0$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ -5x-5 x-1-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$9x^{2}+6x+1-5x^{2}+5-8+x=0$$

დააჯგუფეთ 9x^{2} და -5x^{2}, რათა მიიღოთ 4x^{2}.

$$4x^{2}+6x+1+5-8+x=0$$

შეკრიბეთ 1 და 5, რათა მიიღოთ 6.

$$4x^{2}+6x+6-8+x=0$$

გამოაკელით 8 6-ს -2-ის მისაღებად.

$$4x^{2}+6x-2+x=0$$

დააჯგუფეთ 6x და x, რათა მიიღოთ 7x.

$$4x^{2}+7x-2=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 4x^{2}+ax+bx-2. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=7 ab=4\left(-2\right)=-8$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -8.

$$-1,8 -2,4$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+8=7 -2+4=2$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 7.

$$a=-1 b=8$$

ხელახლა დაწერეთ 4x^{2}+7x-2, როგორც \left(4x^{2}-x\right)+\left(8x-2\right).

$$\left(4x^{2}-x\right)+\left(8x-2\right)$$

x-ის პირველ, 2-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$x\left(4x-1\right)+2\left(4x-1\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 4x-1 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(4x-1\right)\left(x+2\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 4x-1=0 და x+2=0.

$$x=\frac{1}{4} x=-2$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(3x+1\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)=8-x$$

გამოაკელით 8 ორივე მხარეს.

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)-8=-x$$

დაამატეთ x ორივე მხარეს.

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)-8+x=0$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -5 x+1-ზე.

$$9x^{2}+6x+1+\left(-5x-5\right)\left(x-1\right)-8+x=0$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ -5x-5 x-1-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$9x^{2}+6x+1-5x^{2}+5-8+x=0$$

დააჯგუფეთ 9x^{2} და -5x^{2}, რათა მიიღოთ 4x^{2}.

$$4x^{2}+6x+1+5-8+x=0$$

შეკრიბეთ 1 და 5, რათა მიიღოთ 6.

$$4x^{2}+6x+6-8+x=0$$

გამოაკელით 8 6-ს -2-ის მისაღებად.

$$4x^{2}+6x-2+x=0$$

დააჯგუფეთ 6x და x, რათა მიიღოთ 7x.

$$4x^{2}+7x-2=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 4-ით a, 7-ით b და -2-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 4\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

აიყვანეთ კვადრატში 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 4\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 4.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-16\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -16-ზე -2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+32}}{2\times 4}$$

მიუმატეთ 49 32-ს.

$$x=\frac{-7±\sqrt{81}}{2\times 4}$$

აიღეთ 81-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-7±9}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 4.

$$x=\frac{-7±9}{8}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-7±9}{8} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -7 9-ს.

$$x=\frac{2}{8}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{2}{8} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x=\frac{1}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-7±9}{8} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 9 -7-ს.

$$x=-\frac{16}{8}$$

გაყავით -16 8-ზე.

$$x=-2$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{1}{4} x=-2$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(3x+1\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)=8-x$$

დაამატეთ x ორივე მხარეს.

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)+x=8$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -5 x+1-ზე.

$$9x^{2}+6x+1+\left(-5x-5\right)\left(x-1\right)+x=8$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ -5x-5 x-1-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$9x^{2}+6x+1-5x^{2}+5+x=8$$

დააჯგუფეთ 9x^{2} და -5x^{2}, რათა მიიღოთ 4x^{2}.

$$4x^{2}+6x+1+5+x=8$$

შეკრიბეთ 1 და 5, რათა მიიღოთ 6.

$$4x^{2}+6x+6+x=8$$

დააჯგუფეთ 6x და x, რათა მიიღოთ 7x.

$$4x^{2}+7x+6=8$$

გამოაკელით 6 ორივე მხარეს.

$$4x^{2}+7x=8-6$$

გამოაკელით 6 8-ს 2-ის მისაღებად.

$$4x^{2}+7x=2$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$\frac{4x^{2}+7x}{4}=\frac{2}{4}$$

4-ზე გაყოფა აუქმებს 4-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x=\frac{2}{4}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{2}{4} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x=\frac{1}{2}$$

გაყავით \frac{7}{4}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{7}{8}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{7}{8}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{7}{8} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{1}{2}+\frac{49}{64}$$

მიუმატეთ \frac{1}{2} \frac{49}{64}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{81}{64}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{81}{64}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{64}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{7}{8}=\frac{9}{8} x+\frac{7}{8}=-\frac{9}{8}$$

გამოაკელით \frac{7}{8} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{1}{4} x=-2$$