გადაწყვიტეთ (3x+1)^2=4

$$( 3 x + 1 ) ^ { 2 } = 4$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$x=-1$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(3x+1\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$9x^{2}+6x+1=4$$

გამოაკელით 4 ორივე მხარეს.

$$9x^{2}+6x+1-4=0$$

გამოაკელით 4 1-ს -3-ის მისაღებად.

$$9x^{2}+6x-3=0$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$3x^{2}+2x-1=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 3x^{2}+ax+bx-1. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=2 ab=3\left(-1\right)=-3$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. ერთადერთი ასეთი წყვილი არის სისტემის ამონახსნი.

$$a=-1 b=3$$

ხელახლა დაწერეთ 3x^{2}+2x-1, როგორც \left(3x^{2}-x\right)+\left(3x-1\right).

$$\left(3x^{2}-x\right)+\left(3x-1\right)$$

მამრავლებად დაშალეთ x 3x^{2}-x-ში.

$$x\left(3x-1\right)+3x-1$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 3x-1 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(3x-1\right)\left(x+1\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 3x-1=0 და x+1=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-1$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(3x+1\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$9x^{2}+6x+1=4$$

გამოაკელით 4 ორივე მხარეს.

$$9x^{2}+6x+1-4=0$$

გამოაკელით 4 1-ს -3-ის მისაღებად.

$$9x^{2}+6x-3=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 9-ით a, 6-ით b და -3-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 9\left(-3\right)}}{2\times 9}$$

აიყვანეთ კვადრატში 6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 9\left(-3\right)}}{2\times 9}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 9.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-36\left(-3\right)}}{2\times 9}$$

გაამრავლეთ -36-ზე -3.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+108}}{2\times 9}$$

მიუმატეთ 36 108-ს.

$$x=\frac{-6±\sqrt{144}}{2\times 9}$$

აიღეთ 144-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-6±12}{2\times 9}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 9.

$$x=\frac{-6±12}{18}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-6±12}{18} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -6 12-ს.

$$x=\frac{6}{18}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{6}{18} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 6-ის შეკვეცით.

$$x=\frac{1}{3}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-6±12}{18} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 12 -6-ს.

$$x=-\frac{18}{18}$$

გაყავით -18 18-ზე.

$$x=-1$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{1}{3} x=-1$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(3x+1\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$9x^{2}+6x+1=4$$

გამოაკელით 1 ორივე მხარეს.

$$9x^{2}+6x=4-1$$

გამოაკელით 1 4-ს 3-ის მისაღებად.

$$9x^{2}+6x=3$$

ორივე მხარე გაყავით 9-ზე.

$$\frac{9x^{2}+6x}{9}=\frac{3}{9}$$

9-ზე გაყოფა აუქმებს 9-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{6}{9}x=\frac{3}{9}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{6}{9} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 3-ის შეკვეცით.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=\frac{3}{9}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{3}{9} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 3-ის შეკვეცით.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=\frac{1}{3}$$

გაყავით \frac{2}{3}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{1}{3}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{1}{3}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{1}{3} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$$

მიუმატეთ \frac{1}{3} \frac{1}{9}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{4}{9}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{2}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{2}{3}$$

გამოაკელით \frac{1}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{1}{3} x=-1$$