გადაწყვიტეთ (2x+3)(x^2-16)+(x-4)(x+40)=2(x-4)(x^2-16)

$$( 2 x + 3 ) ( x ^ { 2 } - 16 ) + ( x - 4 ) ( x + 40 ) = 2 ( x - 4 ) ( x ^ { 2 } - 16 )$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-7$$

$$x=4$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2x+3 x^{2}-16-ზე.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ x-4 x+40-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

დააჯგუფეთ 3x^{2} და x^{2}, რათა მიიღოთ 4x^{2}.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

დააჯგუფეთ -32x და 36x, რათა მიიღოთ 4x.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

გამოაკელით 160 -48-ს -208-ის მისაღებად.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 x-4-ზე.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2x-8 x^{2}-16-ზე.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

გამოაკელით 2x^{3} ორივე მხარეს.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

დააჯგუფეთ 2x^{3} და -2x^{3}, რათა მიიღოთ 0.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

დაამატეთ 32x ორივე მხარეს.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

დააჯგუფეთ 4x და 32x, რათა მიიღოთ 36x.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

დაამატეთ 8x^{2} ორივე მხარეს.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

დააჯგუფეთ 4x^{2} და 8x^{2}, რათა მიიღოთ 12x^{2}.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

გამოაკელით 128 ორივე მხარეს.

$$36x+12x^{2}-208-128=0$$

გამოაკელით 128 -208-ს -336-ის მისაღებად.

$$36x+12x^{2}-336=0$$

ორივე მხარე გაყავით 12-ზე.

$$3x+x^{2}-28=0$$

გადაალაგეთ პოლინომები სტანდარტულ ფორმაში მოსაყვანად. განალაგეთ წევრები უდიდესიდან უმცირეს ხარისხამდე.

$$x^{2}+3x-28=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც x^{2}+ax+bx-28. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=3 ab=1\left(-28\right)=-28$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -28.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 3.

$$a=-4 b=7$$

ხელახლა დაწერეთ x^{2}+3x-28, როგორც \left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right).

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right)$$

x-ის პირველ, 7-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$x\left(x-4\right)+7\left(x-4\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-4 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-4\right)\left(x+7\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-4=0 და x+7=0.

$$x=4 x=-7$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2x+3 x^{2}-16-ზე.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ x-4 x+40-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

დააჯგუფეთ 3x^{2} და x^{2}, რათა მიიღოთ 4x^{2}.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

დააჯგუფეთ -32x და 36x, რათა მიიღოთ 4x.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

გამოაკელით 160 -48-ს -208-ის მისაღებად.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 x-4-ზე.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2x-8 x^{2}-16-ზე.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

გამოაკელით 2x^{3} ორივე მხარეს.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

დააჯგუფეთ 2x^{3} და -2x^{3}, რათა მიიღოთ 0.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

დაამატეთ 32x ორივე მხარეს.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

დააჯგუფეთ 4x და 32x, რათა მიიღოთ 36x.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

დაამატეთ 8x^{2} ორივე მხარეს.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

დააჯგუფეთ 4x^{2} და 8x^{2}, რათა მიიღოთ 12x^{2}.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

გამოაკელით 128 ორივე მხარეს.

$$36x+12x^{2}-208-128=0$$

გამოაკელით 128 -208-ს -336-ის მისაღებად.

$$36x+12x^{2}-336=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$12x^{2}+36x-336=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 12-ით a, 36-ით b და -336-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 12\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

აიყვანეთ კვადრატში 36.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 12\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 12.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-48\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

გაამრავლეთ -48-ზე -336.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296+16128}}{2\times 12}$$

მიუმატეთ 1296 16128-ს.

$$x=\frac{-36±\sqrt{17424}}{2\times 12}$$

აიღეთ 17424-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-36±132}{2\times 12}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 12.

$$x=\frac{-36±132}{24}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-36±132}{24} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -36 132-ს.

$$x=\frac{96}{24}$$

გაყავით 96 24-ზე.

$$x=4$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-36±132}{24} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 132 -36-ს.

$$x=-\frac{168}{24}$$

გაყავით -168 24-ზე.

$$x=-7$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=4 x=-7$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2x+3 x^{2}-16-ზე.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ x-4 x+40-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

დააჯგუფეთ 3x^{2} და x^{2}, რათა მიიღოთ 4x^{2}.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

დააჯგუფეთ -32x და 36x, რათა მიიღოთ 4x.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

გამოაკელით 160 -48-ს -208-ის მისაღებად.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 x-4-ზე.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2x-8 x^{2}-16-ზე.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

გამოაკელით 2x^{3} ორივე მხარეს.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

დააჯგუფეთ 2x^{3} და -2x^{3}, რათა მიიღოთ 0.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

დაამატეთ 32x ორივე მხარეს.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

დააჯგუფეთ 4x და 32x, რათა მიიღოთ 36x.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

დაამატეთ 8x^{2} ორივე მხარეს.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

დააჯგუფეთ 4x^{2} და 8x^{2}, რათა მიიღოთ 12x^{2}.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

დაამატეთ 208 ორივე მხარეს.

$$36x+12x^{2}=128+208$$

შეკრიბეთ 128 და 208, რათა მიიღოთ 336.

$$36x+12x^{2}=336$$

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+36x=336$$

ორივე მხარე გაყავით 12-ზე.

$$\frac{12x^{2}+36x}{12}=\frac{336}{12}$$

12-ზე გაყოფა აუქმებს 12-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{36}{12}x=\frac{336}{12}$$

გაყავით 36 12-ზე.

$$x^{2}+3x=\frac{336}{12}$$

გაყავით 336 12-ზე.

$$x^{2}+3x=28$$

გაყავით 3, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{3}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{3}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=28+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{3}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=28+\frac{9}{4}$$

მიუმატეთ 28 \frac{9}{4}-ს.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{121}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+3x+\frac{9}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{11}{2}$$

გამოაკელით \frac{3}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=4 x=-7$$