გადაწყვიტეთ (1+y^2)dx=(tan^-1y-x)dy

$$( 1 + y ^ { 2 } ) d x = ( \tan ^ { - 1 } y - x ) d y$$

ამოხსნა d-ისთვის (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\d=0\text{, }&\text{unconditionally}\\d\in \mathrm{C}\text{, }&x=\frac{y\arctan(y)}{y^{2}+y+1}\text{ and }y\neq \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\text{ and }y\neq \frac{-\sqrt{3}i-1}{2}\end{matrix}\right.$$

ხაზოვანი განტოლების ამოხსნის ეტაპები

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 1+y^{2} d-ზე.

$$\left(d+y^{2}d\right)x=\left(\arctan(y)-x\right)dy$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ d+y^{2}d x-ზე.

$$dx+y^{2}dx=\left(\arctan(y)-x\right)dy$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ \arctan(y)-x d-ზე.

$$dx+y^{2}dx=\left(\arctan(y)d-xd\right)y$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ \arctan(y)d-xd y-ზე.

$$dx+y^{2}dx=\arctan(y)dy-xdy$$

გამოაკელით \arctan(y)dy ორივე მხარეს.

$$dx+y^{2}dx-\arctan(y)dy=-xdy$$

დაამატეთ xdy ორივე მხარეს.

$$dx+y^{2}dx-\arctan(y)dy+xdy=0$$

გადაალაგეთ წევრები.

$$-dy\arctan(y)+dxy^{2}+dxy+dx=0$$

დააჯგუფეთ ყველა წევრი, რომელიც შეიცავს შემდეგს: d.

$$\left(-y\arctan(y)+xy^{2}+xy+x\right)d=0$$

გაყავით 0 -y\arctan(y)+xy^{2}+xy+x-ზე.

$$d=0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{y\arctan(y)}{y^{2}+y+1}\text{, }&y\neq \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\text{ and }y\neq \frac{-\sqrt{3}i-1}{2}\\x\in \mathrm{C}\text{, }&d=0\end{matrix}\right.$$

ხაზოვანი განტოლების ამოხსნის ეტაპები

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 1+y^{2} d-ზე.

$$\left(d+y^{2}d\right)x=\left(\arctan(y)-x\right)dy$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ d+y^{2}d x-ზე.

$$dx+y^{2}dx=\left(\arctan(y)-x\right)dy$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ \arctan(y)-x d-ზე.

$$dx+y^{2}dx=\left(\arctan(y)d-xd\right)y$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ \arctan(y)d-xd y-ზე.

$$dx+y^{2}dx=\arctan(y)dy-xdy$$

დაამატეთ xdy ორივე მხარეს.

$$dx+y^{2}dx+xdy=\arctan(y)dy$$

დააჯგუფეთ ყველა წევრი, რომელიც შეიცავს შემდეგს: x.

$$\left(d+y^{2}d+dy\right)x=\arctan(y)dy$$

განტოლება სტანდარტული ფორმისაა.

$$\left(dy^{2}+dy+d\right)x=dy\arctan(y)$$

ორივე მხარე გაყავით d+y^{2}d+dy-ზე.

$$\frac{\left(dy^{2}+dy+d\right)x}{dy^{2}+dy+d}=\frac{dy\arctan(y)}{dy^{2}+dy+d}$$

d+y^{2}d+dy-ზე გაყოფა აუქმებს d+y^{2}d+dy-ზე გამრავლებას.

$$x=\frac{dy\arctan(y)}{dy^{2}+dy+d}$$

გაყავით \arctan(y)dy d+y^{2}d+dy-ზე.

$$x=\frac{y\arctan(y)}{y^{2}+y+1}$$

ამოხსნა d-ისთვის

$$\left\{\begin{matrix}\\d=0\text{, }&\text{unconditionally}\\d\in \mathrm{R}\text{, }&x=\frac{y\arctan(y)}{y^{2}+y+1}\end{matrix}\right.$$

ხაზოვანი განტოლების ამოხსნის ეტაპები

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 1+y^{2} d-ზე.

$$\left(d+y^{2}d\right)x=\left(\arctan(y)-x\right)dy$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ d+y^{2}d x-ზე.

$$dx+y^{2}dx=\left(\arctan(y)-x\right)dy$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ \arctan(y)-x d-ზე.

$$dx+y^{2}dx=\left(\arctan(y)d-xd\right)y$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ \arctan(y)d-xd y-ზე.

$$dx+y^{2}dx=\arctan(y)dy-xdy$$

გამოაკელით \arctan(y)dy ორივე მხარეს.

$$dx+y^{2}dx-\arctan(y)dy=-xdy$$

დაამატეთ xdy ორივე მხარეს.

$$dx+y^{2}dx-\arctan(y)dy+xdy=0$$

გადაალაგეთ წევრები.

$$-dy\arctan(y)+dxy^{2}+dxy+dx=0$$

დააჯგუფეთ ყველა წევრი, რომელიც შეიცავს შემდეგს: d.

$$\left(-y\arctan(y)+xy^{2}+xy+x\right)d=0$$

გაყავით 0 -y\arctan(y)+xy^{2}+xy+x-ზე.

$$d=0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$\left\{\begin{matrix}\\x=\frac{y\arctan(y)}{y^{2}+y+1}\text{, }&\text{unconditionally}\\x\in \mathrm{R}\text{, }&d=0\end{matrix}\right.$$

ხაზოვანი განტოლების ამოხსნის ეტაპები

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 1+y^{2} d-ზე.

$$\left(d+y^{2}d\right)x=\left(\arctan(y)-x\right)dy$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ d+y^{2}d x-ზე.

$$dx+y^{2}dx=\left(\arctan(y)-x\right)dy$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ \arctan(y)-x d-ზე.

$$dx+y^{2}dx=\left(\arctan(y)d-xd\right)y$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ \arctan(y)d-xd y-ზე.

$$dx+y^{2}dx=\arctan(y)dy-xdy$$

დაამატეთ xdy ორივე მხარეს.

$$dx+y^{2}dx+xdy=\arctan(y)dy$$

დააჯგუფეთ ყველა წევრი, რომელიც შეიცავს შემდეგს: x.

$$\left(d+y^{2}d+dy\right)x=\arctan(y)dy$$

განტოლება სტანდარტული ფორმისაა.

$$\left(dy^{2}+dy+d\right)x=dy\arctan(y)$$

ორივე მხარე გაყავით d+y^{2}d+dy-ზე.

$$\frac{\left(dy^{2}+dy+d\right)x}{dy^{2}+dy+d}=\frac{dy\arctan(y)}{dy^{2}+dy+d}$$

d+y^{2}d+dy-ზე გაყოფა აუქმებს d+y^{2}d+dy-ზე გამრავლებას.

$$x=\frac{dy\arctan(y)}{dy^{2}+dy+d}$$

გაყავით \arctan(y)dy d+y^{2}d+dy-ზე.

$$x=\frac{y\arctan(y)}{y^{2}+y+1}$$