გადაწყვიტეთ x^2-115x+5046=0

$${ x }^{ 2 } -115x+5046=0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{115+\sqrt{6959}i}{2}\approx 57.5+41.710310476i$$

$$x=\frac{-\sqrt{6959}i+115}{2}\approx 57.5-41.710310476i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$x^{2}-115x+5046=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 1-ით a, -115-ით b და 5046-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-115\right)±\sqrt{\left(-115\right)^{2}-4\times 5046}}{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -115.

$$x=\frac{-\left(-115\right)±\sqrt{13225-4\times 5046}}{2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 5046.

$$x=\frac{-\left(-115\right)±\sqrt{13225-20184}}{2}$$

მიუმატეთ 13225 -20184-ს.

$$x=\frac{-\left(-115\right)±\sqrt{-6959}}{2}$$

აიღეთ -6959-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-115\right)±\sqrt{6959}i}{2}$$

-115-ის საპირისპიროა 115.

$$x=\frac{115±\sqrt{6959}i}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{115±\sqrt{6959}i}{2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 115 i\sqrt{6959}-ს.

$$x=\frac{115+\sqrt{6959}i}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{115±\sqrt{6959}i}{2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით i\sqrt{6959} 115-ს.

$$x=\frac{-\sqrt{6959}i+115}{2}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{115+\sqrt{6959}i}{2} x=\frac{-\sqrt{6959}i+115}{2}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-115x+5046=0$$

გამოაკელით 5046 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x^{2}-115x+5046-5046=-5046$$

5046-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$x^{2}-115x=-5046$$

გაყავით -115, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{115}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{115}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-115x+\left(-\frac{115}{2}\right)^{2}=-5046+\left(-\frac{115}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{115}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-115x+\frac{13225}{4}=-5046+\frac{13225}{4}$$

მიუმატეთ -5046 \frac{13225}{4}-ს.

$$x^{2}-115x+\frac{13225}{4}=-\frac{6959}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-115x+\frac{13225}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{115}{2}\right)^{2}=-\frac{6959}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{115}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{6959}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{115}{2}=\frac{\sqrt{6959}i}{2} x-\frac{115}{2}=-\frac{\sqrt{6959}i}{2}$$

მიუმატეთ \frac{115}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{115+\sqrt{6959}i}{2} x=\frac{-\sqrt{6959}i+115}{2}$$