გადაწყვიტეთ x^2+3x+9=0

$${ x }^{ 2 } +3x+9=0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{-3+3\sqrt{3}i}{2}\approx -1.5+2.598076211i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{3}i-3}{2}\approx -1.5-2.598076211i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$x^{2}+3x+9=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 1-ით a, 3-ით b და 9-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 9}}{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 9}}{2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 9.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-36}}{2}$$

მიუმატეთ 9 -36-ს.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-27}}{2}$$

აიღეთ -27-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-3±3\sqrt{3}i}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-3±3\sqrt{3}i}{2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -3 3i\sqrt{3}-ს.

$$x=\frac{-3+3\sqrt{3}i}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-3±3\sqrt{3}i}{2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 3i\sqrt{3} -3-ს.

$$x=\frac{-3\sqrt{3}i-3}{2}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{-3+3\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-3\sqrt{3}i-3}{2}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+3x+9=0$$

გამოაკელით 9 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x^{2}+3x+9-9=-9$$

9-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$x^{2}+3x=-9$$

გაყავით 3, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{3}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{3}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-9+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{3}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=-9+\frac{9}{4}$$

მიუმატეთ -9 \frac{9}{4}-ს.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=-\frac{27}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+3x+\frac{9}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{27}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{27}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{3\sqrt{3}i}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{3\sqrt{3}i}{2}$$

გამოაკელით \frac{3}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{-3+3\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-3\sqrt{3}i-3}{2}$$