გადაწყვიტეთ x^2+11x+28=0

$${ x }^{ 2 } +11x+28=0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-7$$

$$x=-4$$

მამრავლებად დაშლის გამოყენების ნაბიჯები

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ x^{2}+11x+28 შემდეგი ფორმულის გამოყენებით: x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=11 ab=28$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b დადებითია, ორივე, a და b დადებითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 28.

$$1,28 2,14 4,7$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1+28=29 2+14=16 4+7=11$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 11.

$$a=4 b=7$$

გადაწერეთ მამრავლებად დაშლილი ლოგიკური ფრაზა \left(x+a\right)\left(x+b\right) მიღებული მნიშვნელობების გამოყენებით.

$$\left(x+4\right)\left(x+7\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x+4=0 და x+7=0.

$$x=-4 x=-7$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც x^{2}+ax+bx+28. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=11 ab=1\times 28=28$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b დადებითია, ორივე, a და b დადებითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 28.

$$1,28 2,14 4,7$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1+28=29 2+14=16 4+7=11$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 11.

$$a=4 b=7$$

ხელახლა დაწერეთ x^{2}+11x+28, როგორც \left(x^{2}+4x\right)+\left(7x+28\right).

$$\left(x^{2}+4x\right)+\left(7x+28\right)$$

x-ის პირველ, 7-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$x\left(x+4\right)+7\left(x+4\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x+4 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x+4\right)\left(x+7\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x+4=0 და x+7=0.

$$x=-4 x=-7$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$x^{2}+11x+28=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 1-ით a, 11-ით b და 28-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 28}}{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 28}}{2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 28.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-112}}{2}$$

მიუმატეთ 121 -112-ს.

$$x=\frac{-11±\sqrt{9}}{2}$$

აიღეთ 9-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-11±3}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-11±3}{2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -11 3-ს.

$$x=-\frac{8}{2}$$

გაყავით -8 2-ზე.

$$x=-4$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-11±3}{2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 3 -11-ს.

$$x=-\frac{14}{2}$$

გაყავით -14 2-ზე.

$$x=-7$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=-4 x=-7$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+11x+28=0$$

გამოაკელით 28 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x^{2}+11x+28-28=-28$$

28-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$x^{2}+11x=-28$$

გაყავით 11, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{11}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{11}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+11x+\left(\frac{11}{2}\right)^{2}=-28+\left(\frac{11}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{11}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+11x+\frac{121}{4}=-28+\frac{121}{4}$$

მიუმატეთ -28 \frac{121}{4}-ს.

$$x^{2}+11x+\frac{121}{4}=\frac{9}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+11x+\frac{121}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{11}{2}=\frac{3}{2} x+\frac{11}{2}=-\frac{3}{2}$$

გამოაკელით \frac{11}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-4 x=-7$$