გადაწყვიტეთ left(x-4right)^2+(x-1)(x+1)=25

$${ \left(x-4 \right) }^{ 2 } +(x-1)(x+1)=25$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-1$$

$$x=5$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(x-4\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$x^{2}-8x+16+\left(x-1\right)\left(x+1\right)=25$$

განვიხილოთ \left(x-1\right)\left(x+1\right). გამრავლება შეიძლება გარდაიქმნას კვადრატების სხვაობად, შემდეგი წესის გამოყენებით: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. აიყვანეთ კვადრატში 1.

$$x^{2}-8x+16+x^{2}-1=25$$

დააჯგუფეთ x^{2} და x^{2}, რათა მიიღოთ 2x^{2}.

$$2x^{2}-8x+16-1=25$$

გამოაკელით 1 16-ს 15-ის მისაღებად.

$$2x^{2}-8x+15=25$$

გამოაკელით 25 ორივე მხარეს.

$$2x^{2}-8x+15-25=0$$

გამოაკელით 25 15-ს -10-ის მისაღებად.

$$2x^{2}-8x-10=0$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x^{2}-4x-5=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც x^{2}+ax+bx-5. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-4 ab=1\left(-5\right)=-5$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b უარყოფითია, უარყოფით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე დადებით რიცხვს. ერთადერთი ასეთი წყვილი არის სისტემის ამონახსნი.

$$a=-5 b=1$$

ხელახლა დაწერეთ x^{2}-4x-5, როგორც \left(x^{2}-5x\right)+\left(x-5\right).

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(x-5\right)$$

მამრავლებად დაშალეთ x x^{2}-5x-ში.

$$x\left(x-5\right)+x-5$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-5 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-5\right)\left(x+1\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-5=0 და x+1=0.

$$x=5 x=-1$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(x-4\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$x^{2}-8x+16+\left(x-1\right)\left(x+1\right)=25$$

განვიხილოთ \left(x-1\right)\left(x+1\right). გამრავლება შეიძლება გარდაიქმნას კვადრატების სხვაობად, შემდეგი წესის გამოყენებით: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. აიყვანეთ კვადრატში 1.

$$x^{2}-8x+16+x^{2}-1=25$$

დააჯგუფეთ x^{2} და x^{2}, რათა მიიღოთ 2x^{2}.

$$2x^{2}-8x+16-1=25$$

გამოაკელით 1 16-ს 15-ის მისაღებად.

$$2x^{2}-8x+15=25$$

გამოაკელით 25 ორივე მხარეს.

$$2x^{2}-8x+15-25=0$$

გამოაკელით 25 15-ს -10-ის მისაღებად.

$$2x^{2}-8x-10=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 2-ით a, -8-ით b და -10-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 2\left(-10\right)}}{2\times 2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 2\left(-10\right)}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 2.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-8\left(-10\right)}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -8-ზე -10.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+80}}{2\times 2}$$

მიუმატეთ 64 80-ს.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{144}}{2\times 2}$$

აიღეთ 144-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±12}{2\times 2}$$

-8-ის საპირისპიროა 8.

$$x=\frac{8±12}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 2.

$$x=\frac{8±12}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{8±12}{4} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 8 12-ს.

$$x=\frac{20}{4}$$

გაყავით 20 4-ზე.

$$x=5$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{8±12}{4} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 12 8-ს.

$$x=-\frac{4}{4}$$

გაყავით -4 4-ზე.

$$x=-1$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=5 x=-1$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(x-4\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$x^{2}-8x+16+\left(x-1\right)\left(x+1\right)=25$$

განვიხილოთ \left(x-1\right)\left(x+1\right). გამრავლება შეიძლება გარდაიქმნას კვადრატების სხვაობად, შემდეგი წესის გამოყენებით: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. აიყვანეთ კვადრატში 1.

$$x^{2}-8x+16+x^{2}-1=25$$

დააჯგუფეთ x^{2} და x^{2}, რათა მიიღოთ 2x^{2}.

$$2x^{2}-8x+16-1=25$$

გამოაკელით 1 16-ს 15-ის მისაღებად.

$$2x^{2}-8x+15=25$$

გამოაკელით 15 ორივე მხარეს.

$$2x^{2}-8x=25-15$$

გამოაკელით 15 25-ს 10-ის მისაღებად.

$$2x^{2}-8x=10$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$\frac{2x^{2}-8x}{2}=\frac{10}{2}$$

2-ზე გაყოფა აუქმებს 2-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{2}\right)x=\frac{10}{2}$$

გაყავით -8 2-ზე.

$$x^{2}-4x=\frac{10}{2}$$

გაყავით 10 2-ზე.

$$x^{2}-4x=5$$

გაყავით -4, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -2-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -2-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=5+\left(-2\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -2.

$$x^{2}-4x+4=5+4$$

მიუმატეთ 5 4-ს.

$$x^{2}-4x+4=9$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-4x+4. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=9$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

გაამარტივეთ.

$$x-2=3 x-2=-3$$

მიუმატეთ 2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=5 x=-1$$