გადაწყვიტეთ sqrt{x+7}-sqrt{13-x}=2

$$\sqrt { x + 7 } - \sqrt { 13 - x } = 2$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=9$$

ამონახსნის ეტაპები

გამოაკელით -\sqrt{13-x} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\sqrt{x+7}=2+\sqrt{13-x}$$

აიყვანეთ კვადრატში განტოლების ორივე მხარე.

$$\left(\sqrt{x+7}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

გამოთვალეთ2-ის \sqrt{x+7} ხარისხი და მიიღეთ x+7.

$$x+7=\left(2+\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(2+\sqrt{13-x}\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$x+7=4+4\sqrt{13-x}+\left(\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

გამოთვალეთ2-ის \sqrt{13-x} ხარისხი და მიიღეთ 13-x.

$$x+7=4+4\sqrt{13-x}+13-x$$

შეკრიბეთ 4 და 13, რათა მიიღოთ 17.

$$x+7=17+4\sqrt{13-x}-x$$

გამოაკელით 17-x განტოლების ორივე მხარეს.

$$x+7-\left(17-x\right)=4\sqrt{13-x}$$

17-x-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$x+7-17+x=4\sqrt{13-x}$$

გამოაკელით 17 7-ს -10-ის მისაღებად.

$$x-10+x=4\sqrt{13-x}$$

დააჯგუფეთ x და x, რათა მიიღოთ 2x.

$$2x-10=4\sqrt{13-x}$$

აიყვანეთ კვადრატში განტოლების ორივე მხარე.

$$\left(2x-10\right)^{2}=\left(4\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(2x-10\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$4x^{2}-40x+100=\left(4\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

დაშალეთ \left(4\sqrt{13-x}\right)^{2}.

$$4x^{2}-40x+100=4^{2}\left(\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

გამოთვალეთ2-ის 4 ხარისხი და მიიღეთ 16.

$$4x^{2}-40x+100=16\left(\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

გამოთვალეთ2-ის \sqrt{13-x} ხარისხი და მიიღეთ 13-x.

$$4x^{2}-40x+100=16\left(13-x\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 16 13-x-ზე.

$$4x^{2}-40x+100=208-16x$$

გამოაკელით 208 ორივე მხარეს.

$$4x^{2}-40x+100-208=-16x$$

გამოაკელით 208 100-ს -108-ის მისაღებად.

$$4x^{2}-40x-108=-16x$$

დაამატეთ 16x ორივე მხარეს.

$$4x^{2}-40x-108+16x=0$$

დააჯგუფეთ -40x და 16x, რათა მიიღოთ -24x.

$$4x^{2}-24x-108=0$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x^{2}-6x-27=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც x^{2}+ax+bx-27. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-6 ab=1\left(-27\right)=-27$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b უარყოფითია, უარყოფით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე დადებით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -27.

$$1,-27 3,-9$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1-27=-26 3-9=-6$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -6.

$$a=-9 b=3$$

ხელახლა დაწერეთ x^{2}-6x-27, როგორც \left(x^{2}-9x\right)+\left(3x-27\right).

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(3x-27\right)$$

x-ის პირველ, 3-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$x\left(x-9\right)+3\left(x-9\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-9 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-9\right)\left(x+3\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-9=0 და x+3=0.

$$x=9 x=-3$$

ჩაანაცვლეთ 9-ით x განტოლებაში, \sqrt{x+7}-\sqrt{13-x}=2.

$$\sqrt{9+7}-\sqrt{13-9}=2$$

გაამარტივეთ. სიდიდე x=9 აკმაყოფილებს განტოლებას.

$$2=2$$

ჩაანაცვლეთ -3-ით x განტოლებაში, \sqrt{x+7}-\sqrt{13-x}=2.

$$\sqrt{-3+7}-\sqrt{13-\left(-3\right)}=2$$

გაამარტივეთ. სიდიდე x=-3 არ აკმაყოფილებს განტოლებას, რადგან მარცხენა და მარჯვენა ხელის მხარეს საწინააღმდეგო ნიშნები აქვთ.

$$-2=2$$

ჩაანაცვლეთ 9-ით x განტოლებაში, \sqrt{x+7}-\sqrt{13-x}=2.

$$\sqrt{9+7}-\sqrt{13-9}=2$$

გაამარტივეთ. სიდიდე x=9 აკმაყოფილებს განტოლებას.

$$2=2$$

განტოლებას \sqrt{x+7}=\sqrt{13-x}+2 აქვს უნიკალური გადაწყვეტილება.

$$x=9$$