გადაწყვიტეთ sqrt{3x+1}-sqrt{2x-1}=1

$$\sqrt { 3 x + 1 } - \sqrt { 2 x - 1 } = 1$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=5$$

$$x=1$$

ამონახსნის ეტაპები

გამოაკელით -\sqrt{2x-1} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\sqrt{3x+1}=1+\sqrt{2x-1}$$

აიყვანეთ კვადრატში განტოლების ორივე მხარე.

$$\left(\sqrt{3x+1}\right)^{2}=\left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

გამოთვალეთ2-ის \sqrt{3x+1} ხარისხი და მიიღეთ 3x+1.

$$3x+1=\left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$3x+1=1+2\sqrt{2x-1}+\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

გამოთვალეთ2-ის \sqrt{2x-1} ხარისხი და მიიღეთ 2x-1.

$$3x+1=1+2\sqrt{2x-1}+2x-1$$

გამოაკელით 1 1-ს 0-ის მისაღებად.

$$3x+1=2\sqrt{2x-1}+2x$$

გამოაკელით 2x განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x+1-2x=2\sqrt{2x-1}$$

დააჯგუფეთ 3x და -2x, რათა მიიღოთ x.

$$x+1=2\sqrt{2x-1}$$

აიყვანეთ კვადრატში განტოლების ორივე მხარე.

$$\left(x+1\right)^{2}=\left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(x+1\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$x^{2}+2x+1=\left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

დაშალეთ \left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1=2^{2}\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

გამოთვალეთ2-ის 2 ხარისხი და მიიღეთ 4.

$$x^{2}+2x+1=4\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

გამოთვალეთ2-ის \sqrt{2x-1} ხარისხი და მიიღეთ 2x-1.

$$x^{2}+2x+1=4\left(2x-1\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 4 2x-1-ზე.

$$x^{2}+2x+1=8x-4$$

გამოაკელით 8x ორივე მხარეს.

$$x^{2}+2x+1-8x=-4$$

დააჯგუფეთ 2x და -8x, რათა მიიღოთ -6x.

$$x^{2}-6x+1=-4$$

დაამატეთ 4 ორივე მხარეს.

$$x^{2}-6x+1+4=0$$

შეკრიბეთ 1 და 4, რათა მიიღოთ 5.

$$x^{2}-6x+5=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ x^{2}-6x+5 შემდეგი ფორმულის გამოყენებით: x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-6 ab=5$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b უარყოფითია, ორივე, a და b უარყოფითია. ერთადერთი ასეთი წყვილი არის სისტემის ამონახსნი.

$$a=-5 b=-1$$

გადაწერეთ მამრავლებად დაშლილი ლოგიკური ფრაზა \left(x+a\right)\left(x+b\right) მიღებული მნიშვნელობების გამოყენებით.

$$\left(x-5\right)\left(x-1\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-5=0 და x-1=0.

$$x=5 x=1$$

ჩაანაცვლეთ 5-ით x განტოლებაში, \sqrt{3x+1}-\sqrt{2x-1}=1.

$$\sqrt{3\times 5+1}-\sqrt{2\times 5-1}=1$$

გაამარტივეთ. სიდიდე x=5 აკმაყოფილებს განტოლებას.

$$1=1$$

ჩაანაცვლეთ 1-ით x განტოლებაში, \sqrt{3x+1}-\sqrt{2x-1}=1.

$$\sqrt{3\times 1+1}-\sqrt{2\times 1-1}=1$$

გაამარტივეთ. სიდიდე x=1 აკმაყოფილებს განტოლებას.

$$1=1$$

ჩამოთვალეთ \sqrt{3x+1}=\sqrt{2x-1}+1-ის ამოხსნები.

$$x=5 x=1$$