გადაწყვიტეთ sqrt{15+x^2}-sqrt{19-x^2}=2

$$\sqrt { 15 + x ^ { 2 } } - \sqrt { 19 - x ^ { 2 } } = 2$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=\sqrt{10}\approx 3.16227766$$

$$x=-\sqrt{10}\approx -3.16227766$$

ამონახსნის ეტაპები

გამოაკელით -\sqrt{19-x^{2}} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\sqrt{15+x^{2}}=2+\sqrt{19-x^{2}}$$

აიყვანეთ კვადრატში განტოლების ორივე მხარე.

$$\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

გამოთვალეთ2-ის \sqrt{15+x^{2}} ხარისხი და მიიღეთ 15+x^{2}.

$$15+x^{2}=\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$15+x^{2}=4+4\sqrt{19-x^{2}}+\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

გამოთვალეთ2-ის \sqrt{19-x^{2}} ხარისხი და მიიღეთ 19-x^{2}.

$$15+x^{2}=4+4\sqrt{19-x^{2}}+19-x^{2}$$

შეკრიბეთ 4 და 19, რათა მიიღოთ 23.

$$15+x^{2}=23+4\sqrt{19-x^{2}}-x^{2}$$

გამოაკელით 23-x^{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$15+x^{2}-\left(23-x^{2}\right)=4\sqrt{19-x^{2}}$$

23-x^{2}-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$15+x^{2}-23+x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

გამოაკელით 23 15-ს -8-ის მისაღებად.

$$-8+x^{2}+x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

დააჯგუფეთ x^{2} და x^{2}, რათა მიიღოთ 2x^{2}.

$$-8+2x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

აიყვანეთ კვადრატში განტოლების ორივე მხარე.

$$\left(-8+2x^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(-8+2x^{2}\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$64-32x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

რიცხვის ხარისხის სხვა ხარისხში ასაყვანად, გადაამრავლეთ ექსპონენტები. გადაამრავლეთ 2 და 2 რომ მიიღოთ 4.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

დაშალეთ \left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=4^{2}\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

გამოთვალეთ2-ის 4 ხარისხი და მიიღეთ 16.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=16\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

გამოთვალეთ2-ის \sqrt{19-x^{2}} ხარისხი და მიიღეთ 19-x^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=16\left(19-x^{2}\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 16 19-x^{2}-ზე.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=304-16x^{2}$$

გამოაკელით 304 ორივე მხარეს.

$$64-32x^{2}+4x^{4}-304=-16x^{2}$$

გამოაკელით 304 64-ს -240-ის მისაღებად.

$$-240-32x^{2}+4x^{4}=-16x^{2}$$

დაამატეთ 16x^{2} ორივე მხარეს.

$$-240-32x^{2}+4x^{4}+16x^{2}=0$$

დააჯგუფეთ -32x^{2} და 16x^{2}, რათა მიიღოთ -16x^{2}.

$$-240-16x^{2}+4x^{4}=0$$

ჩაანაცვლეთ t-ით x^{2}.

$$4t^{2}-16t-240=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. ჩაანაცვლეთ 4 a-თვის, -16 b-თვის და -240 c-თვის კვადრატულ ფორმულაში.

$$t=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 4\left(-240\right)}}{2\times 4}$$

შეასრულეთ გამოთვლები.

$$t=\frac{16±64}{8}$$

ამოხსენით განტოლება t=\frac{16±64}{8}, როცა ± არის პლუსი და როცა ± არის მინუსი.

$$t=10 t=-6$$

რადგან x=t^{2}, ამონახსნები მიიღება x=±\sqrt{t}-ის შეფასებით დადებითი t-თვის.

$$x=\sqrt{10} x=-\sqrt{10}$$

ჩაანაცვლეთ \sqrt{10}-ით x განტოლებაში, \sqrt{15+x^{2}}-\sqrt{19-x^{2}}=2.

$$\sqrt{15+\left(\sqrt{10}\right)^{2}}-\sqrt{19-\left(\sqrt{10}\right)^{2}}=2$$

გაამარტივეთ. სიდიდე x=\sqrt{10} აკმაყოფილებს განტოლებას.

$$2=2$$

ჩაანაცვლეთ -\sqrt{10}-ით x განტოლებაში, \sqrt{15+x^{2}}-\sqrt{19-x^{2}}=2.

$$\sqrt{15+\left(-\sqrt{10}\right)^{2}}-\sqrt{19-\left(-\sqrt{10}\right)^{2}}=2$$

გაამარტივეთ. სიდიდე x=-\sqrt{10} აკმაყოფილებს განტოლებას.

$$2=2$$

ჩამოთვალეთ \sqrt{x^{2}+15}=\sqrt{19-x^{2}}+2-ის ამოხსნები.

$$x=\sqrt{10} x=-\sqrt{10}$$