გადაწყვიტეთ {r}{5x+4y=1}{x-6y=7}

$$\left.\begin{array} { r } { 5 x + 4 y = 1 } \\ { x - 6 y = 7 } \end{array} \right\}$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=1$$

$$y=-1$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$5x+4y=1,x-6y=7$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$5x+4y=1$$

გამოაკელით 4y განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x=-4y+1$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$x=\frac{1}{5}\left(-4y+1\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{5}-ზე -4y+1.

$$x=-\frac{4}{5}y+\frac{1}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-4y+1}{5}-ით x მეორე განტოლებაში, x-6y=7.

$$-\frac{4}{5}y+\frac{1}{5}-6y=7$$

მიუმატეთ -\frac{4y}{5} -6y-ს.

$$-\frac{34}{5}y+\frac{1}{5}=7$$

გამოაკელით \frac{1}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{34}{5}y=\frac{34}{5}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{34}{5}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-1$$

ჩაანაცვლეთ -1-ით y აქ: x=-\frac{4}{5}y+\frac{1}{5}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{4}{5}\left(-1\right)+\frac{1}{5}$$

გაამრავლეთ -\frac{4}{5}-ზე -1.

$$x=\frac{4+1}{5}$$

მიუმატეთ \frac{1}{5} \frac{4}{5}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=1,y=-1$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$5x+4y=1,x-6y=7$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}5&4\\1&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}5&4\\1&-6\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&4\\1&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{5\left(-6\right)-4}&-\frac{4}{5\left(-6\right)-4}\\-\frac{1}{5\left(-6\right)-4}&\frac{5}{5\left(-6\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}&\frac{2}{17}\\\frac{1}{34}&-\frac{5}{34}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}+\frac{2}{17}\times 7\\\frac{1}{34}-\frac{5}{34}\times 7\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=1,y=-1$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$5x+4y=1,x-6y=7$$

იმისათვის, რომ 5x და x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 5-ზე.

$$5x+4y=1,5x+5\left(-6\right)y=5\times 7$$

გაამარტივეთ.

$$5x+4y=1,5x-30y=35$$

გამოაკელით 5x-30y=35 5x+4y=1-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$5x-5x+4y+30y=1-35$$

მიუმატეთ 5x -5x-ს. პირობები 5x და -5x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$4y+30y=1-35$$

მიუმატეთ 4y 30y-ს.

$$34y=1-35$$

მიუმატეთ 1 -35-ს.

$$34y=-34$$

ორივე მხარე გაყავით 34-ზე.

$$y=-1$$

ჩაანაცვლეთ -1-ით y აქ: x-6y=7. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x-6\left(-1\right)=7$$

გაამრავლეთ -6-ზე -1.

$$x+6=7$$

გამოაკელით 6 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=1,y=-1$$