გადაწყვიტეთ {l}{3*x-y=12}{x-y=18}

$$\left. \begin{array}{l}{ 3 \cdot x - y = 12 }\\{ x - y = 18 }\end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-3$$

$$y=-21$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3x-y=12,x-y=18$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3x-y=12$$

მიუმატეთ y განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=y+12$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+12\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე y+12.

$$x=\frac{1}{3}y+4$$

ჩაანაცვლეთ \frac{y}{3}+4-ით x მეორე განტოლებაში, x-y=18.

$$\frac{1}{3}y+4-y=18$$

მიუმატეთ \frac{y}{3} -y-ს.

$$-\frac{2}{3}y+4=18$$

გამოაკელით 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{2}{3}y=14$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{2}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-21$$

ჩაანაცვლეთ -21-ით y აქ: x=\frac{1}{3}y+4. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{1}{3}\left(-21\right)+4$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე -21.

$$x=-7+4$$

მიუმატეთ 4 -7-ს.

$$x=-3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-3,y=-21$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3x-y=12,x-y=18$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\18\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\18\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\18\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\18\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3\left(-1\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-1\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\18\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\18\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 12-\frac{1}{2}\times 18\\\frac{1}{2}\times 12-\frac{3}{2}\times 18\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-21\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-3,y=-21$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3x-y=12,x-y=18$$

გამოაკელით x-y=18 3x-y=12-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$3x-x-y+y=12-18$$

მიუმატეთ -y y-ს. პირობები -y და y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$3x-x=12-18$$

მიუმატეთ 3x -x-ს.

$$2x=12-18$$

მიუმატეთ 12 -18-ს.

$$2x=-6$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=-3$$

ჩაანაცვლეთ -3-ით x აქ: x-y=18. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$-3-y=18$$

მიუმატეთ 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-y=21$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-3,y=-21$$