გადაწყვიტეთ {l}{10x+10y=40}{5x+3y=8}

$$\left. \begin{array}{l}{ 10 x + 10 y = 40 }\\{ 5 x + 3 y = 8 }\end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-2$$

$$y=6$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$10x+10y=40,5x+3y=8$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$10x+10y=40$$

გამოაკელით 10y განტოლების ორივე მხარეს.

$$10x=-10y+40$$

ორივე მხარე გაყავით 10-ზე.

$$x=\frac{1}{10}\left(-10y+40\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{10}-ზე -10y+40.

$$x=-y+4$$

ჩაანაცვლეთ -y+4-ით x მეორე განტოლებაში, 5x+3y=8.

$$5\left(-y+4\right)+3y=8$$

გაამრავლეთ 5-ზე -y+4.

$$-5y+20+3y=8$$

მიუმატეთ -5y 3y-ს.

$$-2y+20=8$$

გამოაკელით 20 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-2y=-12$$

ორივე მხარე გაყავით -2-ზე.

$$y=6$$

ჩაანაცვლეთ 6-ით y აქ: x=-y+4. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-6+4$$

მიუმატეთ 4 -6-ს.

$$x=-2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-2,y=6$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$10x+10y=40,5x+3y=8$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}10&10\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\8\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}10&10\\5&3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&10\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&10\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&10\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\8\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&10\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\8\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&10\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10\times 3-10\times 5}&-\frac{10}{10\times 3-10\times 5}\\-\frac{5}{10\times 3-10\times 5}&\frac{10}{10\times 3-10\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\8\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{20}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\8\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{20}\times 40+\frac{1}{2}\times 8\\\frac{1}{4}\times 40-\frac{1}{2}\times 8\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\6\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-2,y=6$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$10x+10y=40,5x+3y=8$$

იმისათვის, რომ 10x და 5x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 5-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 10-ზე.

$$5\times 10x+5\times 10y=5\times 40,10\times 5x+10\times 3y=10\times 8$$

გაამარტივეთ.

$$50x+50y=200,50x+30y=80$$

გამოაკელით 50x+30y=80 50x+50y=200-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$50x-50x+50y-30y=200-80$$

მიუმატეთ 50x -50x-ს. პირობები 50x და -50x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$50y-30y=200-80$$

მიუმატეთ 50y -30y-ს.

$$20y=200-80$$

მიუმატეთ 200 -80-ს.

$$20y=120$$

ორივე მხარე გაყავით 20-ზე.

$$y=6$$

ჩაანაცვლეთ 6-ით y აქ: 5x+3y=8. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$5x+3\times 6=8$$

გაამრავლეთ 3-ზე 6.

$$5x+18=8$$

გამოაკელით 18 განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x=-10$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$x=-2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-2,y=6$$