გადაწყვიტეთ {l}{-7x-2y=-38}{-3y=x}

$$\left. \begin{array}{l}{ - 7 x - 2 y = - 38 }\\{ - 3 y = x }\end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=6$$

$$y=-2$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$-3y-x=0$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$-7x-2y=-38,-x-3y=0$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$-7x-2y=-38$$

მიუმატეთ 2y განტოლების ორივე მხარეს.

$$-7x=2y-38$$

ორივე მხარე გაყავით -7-ზე.

$$x=-\frac{1}{7}\left(2y-38\right)$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{7}-ზე -38+2y.

$$x=-\frac{2}{7}y+\frac{38}{7}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-2y+38}{7}-ით x მეორე განტოლებაში, -x-3y=0.

$$-\left(-\frac{2}{7}y+\frac{38}{7}\right)-3y=0$$

გაამრავლეთ -1-ზე \frac{-2y+38}{7}.

$$\frac{2}{7}y-\frac{38}{7}-3y=0$$

მიუმატეთ \frac{2y}{7} -3y-ს.

$$-\frac{19}{7}y-\frac{38}{7}=0$$

მიუმატეთ \frac{38}{7} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{19}{7}y=\frac{38}{7}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{19}{7}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-2$$

ჩაანაცვლეთ -2-ით y აქ: x=-\frac{2}{7}y+\frac{38}{7}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{2}{7}\left(-2\right)+\frac{38}{7}$$

გაამრავლეთ -\frac{2}{7}-ზე -2.

$$x=\frac{4+38}{7}$$

მიუმატეთ \frac{38}{7} \frac{4}{7}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=6$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=6,y=-2$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$-3y-x=0$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$-7x-2y=-38,-x-3y=0$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}-7&-2\\-1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-38\\0\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}-7&-2\\-1&-3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&-2\\-1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-38\\0\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-38\\0\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-38\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-7\left(-3\right)-\left(-2\left(-1\right)\right)}&-\frac{-2}{-7\left(-3\right)-\left(-2\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{-7\left(-3\right)-\left(-2\left(-1\right)\right)}&-\frac{7}{-7\left(-3\right)-\left(-2\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-38\\0\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\\\frac{1}{19}&-\frac{7}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-38\\0\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{19}\left(-38\right)\\\frac{1}{19}\left(-38\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=6,y=-2$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$-3y-x=0$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$-7x-2y=-38,-x-3y=0$$

იმისათვის, რომ -7x და -x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს -7-ზე.

$$-\left(-7\right)x-\left(-2y\right)=-\left(-38\right),-7\left(-1\right)x-7\left(-3\right)y=0$$

გაამარტივეთ.

$$7x+2y=38,7x+21y=0$$

გამოაკელით 7x+21y=0 7x+2y=38-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$7x-7x+2y-21y=38$$

მიუმატეთ 7x -7x-ს. პირობები 7x და -7x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$2y-21y=38$$

მიუმატეთ 2y -21y-ს.

$$-19y=38$$

ორივე მხარე გაყავით -19-ზე.

$$y=-2$$

ჩაანაცვლეთ -2-ით y აქ: -x-3y=0. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-x-3\left(-2\right)=0$$

გაამრავლეთ -3-ზე -2.

$$-x+6=0$$

გამოაკელით 6 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-x=-6$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$x=6$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=6,y=-2$$