გადაწყვიტეთ {l}{-5x+4y=3}{x=2y-15}

$$\left. \begin{array}{l}{ - 5 x + 4 y = 3 }\\{ x = 2 y - 15 }\end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=9$$

$$y=12$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 2y ორივე მხარეს.

$$x-2y=-15$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$-5x+4y=3,x-2y=-15$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$-5x+4y=3$$

გამოაკელით 4y განტოლების ორივე მხარეს.

$$-5x=-4y+3$$

ორივე მხარე გაყავით -5-ზე.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-4y+3\right)$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{5}-ზე -4y+3.

$$x=\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{4y-3}{5}-ით x მეორე განტოლებაში, x-2y=-15.

$$\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}-2y=-15$$

მიუმატეთ \frac{4y}{5} -2y-ს.

$$-\frac{6}{5}y-\frac{3}{5}=-15$$

მიუმატეთ \frac{3}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{6}{5}y=-\frac{72}{5}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{6}{5}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=12$$

ჩაანაცვლეთ 12-ით y აქ: x=\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{4}{5}\times 12-\frac{3}{5}$$

გაამრავლეთ \frac{4}{5}-ზე 12.

$$x=\frac{48-3}{5}$$

მიუმატეთ -\frac{3}{5} \frac{48}{5}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=9$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=9,y=12$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 2y ორივე მხარეს.

$$x-2y=-15$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$-5x+4y=3,x-2y=-15$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}-5&4\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-15\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}-5&4\\1&-2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&4\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-15\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-15\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-5\left(-2\right)-4}&-\frac{4}{-5\left(-2\right)-4}\\-\frac{1}{-5\left(-2\right)-4}&-\frac{5}{-5\left(-2\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-15\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\\-\frac{1}{6}&-\frac{5}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-15\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 3-\frac{2}{3}\left(-15\right)\\-\frac{1}{6}\times 3-\frac{5}{6}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=9,y=12$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 2y ორივე მხარეს.

$$x-2y=-15$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$-5x+4y=3,x-2y=-15$$

იმისათვის, რომ -5x და x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს -5-ზე.

$$-5x+4y=3,-5x-5\left(-2\right)y=-5\left(-15\right)$$

გაამარტივეთ.

$$-5x+4y=3,-5x+10y=75$$

გამოაკელით -5x+10y=75 -5x+4y=3-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-5x+5x+4y-10y=3-75$$

მიუმატეთ -5x 5x-ს. პირობები -5x და 5x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$4y-10y=3-75$$

მიუმატეთ 4y -10y-ს.

$$-6y=3-75$$

მიუმატეთ 3 -75-ს.

$$-6y=-72$$

ორივე მხარე გაყავით -6-ზე.

$$y=12$$

ჩაანაცვლეთ 12-ით y აქ: x-2y=-15. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x-2\times 12=-15$$

გაამრავლეთ -2-ზე 12.

$$x-24=-15$$

მიუმატეთ 24 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=9$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=9,y=12$$